Système d'équations ou d'inéquations du premier degré à deux inconnues - 2nd L

I. Système d'équation du premier degré à deux inconnues :

1. Définition : 

On appelle système d'équations du premier degré à deux inconnues x et y tout système se ramenant à : {ax+by=cax+by=c (système de deux équations) où a ; b ; c ; a ; b et c sont nombres réels tels que (a ; b)(0 ; 0) et (a ; b)(0 ; )
 
ou {ax+bx=cac+by=ca"x+b"y=c" (système de trois équations) où a ; b ; c ; a ; b ; c ; a" ; b" ;  et c" sont des nombres réels tels que (a ; b)(0 ; 0) ; (a ; b)(0 ; 0) et (a" ; b")(0 ; 0)
 
Exemples : 

2. Existence de solutions : 

Soit le système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y suivant :
 
(S) : {ax+by=cax+by=c(a ; b)(0 ; 0) et (a ; b)(0 ; 0)
 
Pour savoir si ce système (S) admet une solution ou pas, on calcule:
 
 d'abord le déterminant principale Δ :
 
Δ=|abab|=(a)(b)(a)(b) ;
 
 ensuite le déterminant relatif à x (Δx) et le déterminant relatif à y (Δy) :
 
Δx=|cbab|=(c)(b)(b)(c) et Δy|acac|=(a)(c)(a)(c)
 
en fin, on discute sur les valeurs trouvées et pour cela on peut rencontrer un des trois cas suivants :
 
 Δ=0 et Δx=Δy=0 alors le système (S) admet une infinité de solutions.
 
 Δ=0 ; Δx0 et Δy0 alors le système (S) n'admet pas de solutions.
 
 Δ0 ; quel que soit Δx et quel que soit Δy, alors le système )(S) admet un couple (x ; y) 
solution
 
(où (x ; y)R×R), on lit (x ; y) appartient à <<Rcroix R>>
 
Exemples : 
 
3. Les méthodes pour résoudre un système : 
 
a. Méthode d'addition : 
 
La méthode d'addition consiste à multiplier l'une ou les deux équations par un coefficient ou des coefficients de telle sorte qu'en additionnant membre à membre les deux équations, on élimine une inconnue.
 
Exemples :

b. Méthode de substitution :

La méthode de substitution, consiste à isoler l'une des inconnues (au choix) dans l'une des équations puis remplacer cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
 
Exemples :

c. Méthode graphique :

La méthode graphique, consiste à écrire chaque équation du système sous la forme
 
réduite: <<y=ax+b>> ; à tracer les droites dans un repère orthogonal (O ; i ; j) et à lire, si elles existent les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
 
Exemples :
 
 Méthode de CRAMER :

a. Définition :

Soit le système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et  y suivant :
 
(S) : {ax+by=cax+by=c où (a ; b)(0 ; 0) et (a ; b)(0 ; 0)
 
 Le réel Δx=|abab|=(a)(b)(a)(b), est appelé déterminant principal du système.
 
 Le réel Δx=|cbcb|=(c)(b)(c)(b) est appelé déterminant relatif à x.
 
 Le réel Δy=|acac|=(a)(c)(a)(c), est appelé déterminant relatif à y
 
b. Comment un système par la méthode de CRAMER ?
 
Pour résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues x et y par la méthode de CRAMER, on peut procéder comme suit :
 
 d'abord, voir si le système est sous forme la forme : {ax+by=cax+by=c si non le ramené à cette forme.
 
 ensuite, on calcule le déterminant principal ∆ et le déterminant relatif à x et à y : Δx et Δy.
 
 en fin, on regarde les valeurs des déterminants trouvées pour donner la solution du système.
 
Pour ce qui est de la solution, on peut rencontrer un des trois cas suivants :
 
ast si Δ0 ; quel que soit Δx et quel que soit Δy, alors le système admet un couple (x ; y) solution avec
 
x=ΔxΔ et y=ΔyΔ donc l'ensemble solution S=(ΔxΔ ; ΔyΔ)
 
 Si Δ=Δx=Δy=0alors le système admet une infinité de solutions :
 
S=(x ; y)R×R/ax+by=c
 
 Δ=0 ; Δx0 ; Δy0, alors le système n'admet pas de solution : S=ϕ
 

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