Système d'équations ou d'inéquations du premier degré à deux inconnues - 2nd L
I. Système d'équation du premier degré à deux inconnues :
1. Définition :
On appelle système d'équations du premier degré à deux inconnues x et y tout système se ramenant à : {ax+by=ca′x+b′y=c′ (système de deux équations) où a ; b ; c ; a′ ; b′ et c′ sont nombres réels tels que (a ; b)≠(0 ; 0) et (a′ ; b′)≠(0 ; )
ou {ax+bx=ca′c+b′y=c′a"x+b"y=c" (système de trois équations) où a ; b ; c ; a′ ; b′ ; c′ ; a" ; b" ; et c" sont des nombres réels tels que (a ; b)≠(0 ; 0) ; (a′ ; b′)≠(0 ; 0) et (a" ; b")≠(0 ; 0)
Exemples :
2. Existence de solutions :
Soit le système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y suivant :
(S) : {ax+by=ca′x+b′y=c′ où (a ; b)≠(0 ; 0) et (a′ ; b′)≠(0 ; 0)
Pour savoir si ce système (S) admet une solution ou pas, on calcule:
− d'abord le déterminant principale Δ :
Δ=|aba′b′|=(a)(b′)−(a′)(b) ;
− ensuite le déterminant relatif à x (Δx) et le déterminant relatif à y (Δy) :
Δx=|cba′b′|=(c)(b′)−(b′)(c) et Δy|aca′c′|=(a)(c′)−(a′)(c) ;
en fin, on discute sur les valeurs trouvées et pour cela on peut rencontrer un des trois cas suivants :
∗ Δ=0 et Δx=Δy=0 alors le système (S) admet une infinité de solutions.
∗ Δ=0 ; Δx≠0 et Δy≠0 alors le système (S) n'admet pas de solutions.
∗ Δ≠0 ; quel que soit Δx et quel que soit Δy, alors le système )(S) admet un couple (x ; y)
solution
(où (x ; y)∈R×R), on lit (x ; y) appartient à <<Rcroix R>>
Exemples :
3. Les méthodes pour résoudre un système :
a. Méthode d'addition :
La méthode d'addition consiste à multiplier l'une ou les deux équations par un coefficient ou des coefficients de telle sorte qu'en additionnant membre à membre les deux équations, on élimine une inconnue.
Exemples :
b. Méthode de substitution :
La méthode de substitution, consiste à isoler l'une des inconnues (au choix) dans l'une des équations puis remplacer cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
Exemples :
c. Méthode graphique :
La méthode graphique, consiste à écrire chaque équation du système sous la forme
réduite: <<y=ax+b>> ; à tracer les droites dans un repère orthogonal (O ; →i ; →j) et à lire, si elles existent les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Exemples :
Méthode de CRAMER :
a. Définition :
Soit le système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y suivant :
(S) : {ax+by=ca′x+b′y=c′ où (a ; b)≠(0 ; 0) et (a′ ; b′)≠(0 ; 0)
∗ Le réel Δx=|aba′b′|=(a)(b′)−(a′)(b), est appelé déterminant principal du système.
∗ Le réel Δx=|cbc′b′|=(c)(b′)−(c′)(b) est appelé déterminant relatif à x.
∗ Le réel Δy=|aca′c′|=(a)(c′)−(a′)(c), est appelé déterminant relatif à y
b. Comment un système par la méthode de CRAMER ?
Pour résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues x et y par la méthode de CRAMER, on peut procéder comme suit :
− d'abord, voir si le système est sous forme la forme : {ax+by=ca′x+b′y=c′ si non le ramené à cette forme.
− ensuite, on calcule le déterminant principal ∆ et le déterminant relatif à x et à y : Δx et Δy.
− en fin, on regarde les valeurs des déterminants trouvées pour donner la solution du système.
Pour ce qui est de la solution, on peut rencontrer un des trois cas suivants :
ast si Δ≠0 ; quel que soit Δx et quel que soit Δy, alors le système admet un couple (x ; y) solution avec
x=ΔxΔ et y=ΔyΔ donc l'ensemble solution S=(ΔxΔ ; ΔyΔ)
∗ Si Δ=Δx=Δy=0alors le système admet une infinité de solutions :
S=(x ; y)∈R×R/ax+by=c ;
∗ Δ=0 ; Δx≠0 ; Δy≠0, alors le système n'admet pas de solution : S=ϕ
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