Devoir n°19 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
1. Soit θ∈[0, π].
a) Vérifier que ei2θ−(2isinθ)eiθ=1
b) Résoudre dans C l'équation z2−2eiθz+(2isinθ)eiθ=0.
En déduire les écritures sous forme exponentielle des solutions de cette équation.
2. Soit P(z)=n∑k=0akzk un polynôme complexe tel que ak∈R pour tout k∈0,…, n.
Démontrer que si z0 est une racine de P alors ¯z0 l'est aussi.
3. Soit n∈N∗, Sn=sin(πn)+sin(2πn)+…+sin((n−1)πn).
On pose z=cos(πn)+isin(πn)
a. Donner une expression simple de A=1+z+…+zn−1
b. Calculer ℜ(A) et ℑ(A).
c. Déduisez-en que Sn=1tan(π2n).
Exercice 2
f(x)={xsin(1x) si x>01 si x=0x E(1x) si x<0
1. Étudier la continuité de f en 0
2. Calculer lim
Exercice 3
On considère la fonction f définie sur \left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right] par f(x)=\sin^{2}x
1. Montrer que f admet une bijection réciproque \varphi=f^{-1}.
2. Prouver que \varphi est dérivable sur un intervalle K (à préciser) et que pour tout x\in\;K\;,\ \varphi^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^{2}}}
3. Justifier que \varphi^{\prime} est dérivable sur K et que pour tout x\in\;K\text{ et }\varphi''(x)+(2-4x)\left[\varphi^{\prime}(x)\right]^{3}=0
4. (En utilisant la dernière égalité de 2), montrer que la courbe de \varphi admet un point d'inflexion que l'on précisera.
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