Devoir n°11 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
Soit fn(x)=x5+nx−2n où x∈R,n∈N∗
1) a) Montrer que fn est strictement croissante sur R et donner fn(R).
b) Montrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution xn et que xn∈[0, 2].
c) Calculer x0 et x1 et montrer que quelque soit n∈N∗ : xn≥1.
2) a) Montrer que quelque soit x∈[0, 2] et quelque soit n∈N : fn+1(x)≤fn(x).
En déduire que la suite (xn) est croissante et qu'elle converge.
b) Montrer que quelque soit n∈N∗ : 2−32n≤xn≤2.
En déduire la limite de (xn).
3) Soit la fonction g définie par : {g(x)=−2−x2sin(πx)si x<0g(x)=f1(x)si x≥0
a) Calculer limx⟶−∞g(x).
b) Montrer que pour tout x<0 ∶ −x2−2≤g(x)≤x2−2
c) Montrer que g est continue en 0.
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur R+ par f(x)=2(x+1)x2+2x+2
I. 1) a) Dresser le tableau des variations de la fonction f
b) Étudier le sens de variation de la fonction φ : x↦f(x)−x sur R+, en déduire que l'équation : f(x)=x admet dans R+ une solution unique α tel que α∈]45 ; 1[
c) Construire la courbe Cf et la droite Δ : y=x dans un même repère ON (O, →i ; →j)
2) Soit (un) la suite définie par u0∈]45 ; 1[ et un+1=f(un), pour tout n de N.
a) Montrer que ; pour tout n de N on a : un∈]45 ; 1[.
b) Vérifier que : ∀x∈R+ on a : |f′(x)|−14=−14[(x+1)2−3x2+2x+2]2
en déduire que ∀x∈R+ on a : |f′(x)|≤14
c) Montrer que ; ∀x∈R+ on a : |un+1−α|≤14|un−α|
d) Montrer que, ∀n∈N, on a : |un+1−α|≤(14)n|un−α|
En déduire que (un) est convergente et donner sa limite.
3) a) Montrer que f réalise une bijection de R+ sur ]0 ; 1].
On note f−1 la réciproque de f.
b) Construire la courbe C−1f dans le même repère (O, →i ; →j).
c) Montrer que ; ∀x∈]0 ; 1], on a : f−1(x)=1−x+√1−x2x.
d) Étudier la dérivabilité de f−1 sur ]0 ; 1] et calculer (f−1)′(x) lorsqu'il existe.
II. Pour tout x de ]0 ; π2], on pose g(x)=f−1(sinx).
1) Montrer que ; ∀x∈]0 ; π2] ; on a : g(x)=1sinx−1+\cotanx.
2) Montrer que g réalise une bijection de ]0 ; π2] sur R.
On note g−1 la réciproque de g.
3) a) Soit y de ]0 ; π2].
On pose x=g(y).
Établir que siny=f(x).
b) Montrer que g−1 est dérivable sur R+, et que (g−1)′(x)=−2x2+2x+2.
III. Pour tout x de ]0 ; 1], on pose h(x)=f−1(√x).
1) a) Montrer que h est dérivable sur ]0 ; 1[ et calculer h′(x).
b) Étudier la dérivabilité de h à gauche en 1.
2) Pour tout n de N∗, on pose $$v_{n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}h\left(\dfrac{1}{k}\right).$
Montrer que ; ∀n∈N∗, on a : vn=√2n.
Donner alors : limn⟶+∞vn√n
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