Devoir n°11 - Ts1

 

Soit $f_{n}(x)=x^{5}+nx-2n\text{ où }x\in\mathbb{R}\;,\quad n\in\mathbb{N}^{\ast}$

 

1) a) Montrer que $f_{n}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et donner $f_{n}(\mathbb{R}).$

 

b) Montrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ admet une unique solution $x_{n}$ et que $x_{n}\in[0\;,\ 2].$

 

c) Calculer $x_{0}$ et $x_{1}$ et montrer que quelque soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ x_{n}\geq 1.$

 

2) a) Montrer que quelque soit $x\in[0\;,\ 2]$ et quelque soit $n\in\mathbb{N}\ :\ f_{n+1}(x)\leq f_{n}(x).$ 

 

En déduire que la suite $\left(x_{n}\right)$ est croissante et qu'elle converge.

 

b) Montrer que quelque soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ 2-\dfrac{32}{n}\leq x_{n}\leq 2.$ 

 

En déduire la limite de $\left(x_{n}\right).$

 

3) Soit la fonction $g$ définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}g(x)&=&-2-x^{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\quad \text{si }x<0\\g(x)&=&f_{1}(x)\quad\text{si }x\geq 0 \end{array}\right.$

 

a) Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}g(x).$

 

b) Montrer que pour tout $x<0\ ∶\ -x^{2}-2\leq g(x)\leq x^{2}-2$

 

c) Montrer que $g$ est continue en $0.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}+$ par $f(x)=\dfrac{2(x+1)}{x^{2}+2x+2}$

 

I. 1) a) Dresser le tableau des variations de la fonction $f$

 

b) Étudier le sens de variation de la fonction $\varphi\ :\ x\mapsto f(x)-x\text{ sur }\mathbb{R}+$, en déduire que l'équation : $f(x)=x$ admet dans $\mathbb{R}+$ une solution unique $\alpha$ tel que $\alpha\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[$

 

c) Construire la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta\ :\ y=x$ dans un même repère $ON\ \left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ 

 

2) Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[\text{ et }u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}.$

 

a) Montrer que ; pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on a : $u_{n}\in\left]\dfrac{4}{5}\ ;\ 1\right[.$

 

b) Vérifier que : $\forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|f'(x)\right|-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{(x+1)^{2}-3}{x^{2}+2x+2}\right]^{2}$

 

en déduire que $\forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|f'(x)\right|\leq\dfrac{1}{4}$

 

c) Montrer que ; $\forall\;x\in\mathbb{R}+\text{ on a : }\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{1}{4}\left|u_{n}-\alpha\right|$ 

 

d) Montrer que, $\forall\;n\in\mathbb{N},\text{ on a : }\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\left|u_{n}-\alpha\right|$ 

 

En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et donner sa limite.

 

3) a) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}+$ sur $]0\ ;\ 1].$ 

 

On note $f^{-1}$ la réciproque de $f.$

 

b) Construire la courbe $\mathcal{C}_{f}^{-1}$ dans le même repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).$

 

c) Montrer que ; $\forall\;x\in]0\ ;\ 1],\text{ on a : }f^{-1}(x)=\dfrac{1-x+\sqrt{1-x^{2}}}{x}.$ 

 

d) Étudier la dérivabilité de $f^{-1}$ sur $]0\ ;\ 1]$ et calculer $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)$ lorsqu'il existe.

 

II. Pour tout $x$ de $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, on pose $g(x)=f^{-1}(\sin x).$

 

1) Montrer que ; $\forall\;x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\ ;\ \text{on a : }g(x)=\dfrac{1}{\sin x}-1+\cotan x .$

 

2) Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ sur $\mathbb{R}.$ 

 

On note $g^{-1}$ la réciproque de $g.$

 

3) a) Soit $y$ de $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

 

On pose $x=g(y).$ 

 

Établir que $\sin y=f(x).$

 

b) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}+$, et que $\left(g^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{-2}{x^{2}+2x+2}.$

 

III. Pour tout $x$ de $]0\ ;\ 1]$, on pose $h(x)=f^{-1}\left(\sqrt{x}\right).$

 

1) a) Montrer que $h$ est dérivable sur $]0\ ;\ 1[$ et calculer $h^{\prime}(x).$

 

b) Étudier la dérivabilité de $h$ à gauche en $1.$

 

2) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{\ast}$, on pose $$v_{n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}h\left(\dfrac{1}{k}\right).$

 

Montrer que ; $\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on a : $v_{n}=\sqrt{2n}.$

 

Donner alors : $\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{v_{n}}{\sqrt{n}}$