Devoir n°12 - Ts1

 

Partie I

 

On considère pour tout entier naturel $n$ non nul la fonction $g_{n}$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par : $g_{n}(x)=\dfrac{\ln x}{x^{n}}\ ;\ \text{ avec }n\in\mathbb{N}^{\ast}$

 

1) Dresser le tableau de variation des $g_{n}.$

 

2) Construire la courbe $\mathcal{C}_{1}$, représentative de la fonction $g_{1}$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal ; on précisera ses asymptotes.

 

3) Pour tout réel $\lambda\geq 1$, on pose $$I_{n}(\lambda)=\int_{1}^{\lambda}g_{n}(t)\mathrm{d}t.$$

 

a) Calculer $I_{1}(\lambda).$

 

b) Calculer $I_{n}(\lambda)$ en fonction de $n$ et de $\lambda$ pour $n\geq 2.$

 

Déduire de ce résultat la valeur de $$A=\int_{2}^{\lambda}g_{2}(t)\mathrm{d}t.$$

 

c) Soit $n$ un entier naturel $\geq 2$ fixé. 

 

Calculer $\lim\limits_{\lambda\longrightarrow\;+\infty}I_{n}(\lambda)$

 

Partie II

 

On considère la fonction $g_{2}$ telle que $g_{2}(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}.$

 

1) Montrer que, pour tout entier naturel $$p\;,\ p\geq 2\ :\ g_{2}(p+1)\leq\int_{p}^{p+1}g_{2}(t)\mathrm{d}t\leq g_{2}(p).$$

 

2) On considère la suite $\left(S_{k}\right)_k\geq 2$ définie par son terme général $$S_{k}=\sum_{\mathrm{i}=2}^{k}\dfrac{\ln(\mathrm{i})}{\mathrm{i}^{2}}.$$

 

a) Montrer que la suite $\left(S_{k}\right)_k\geq 2$ est croissante.

 

b) Montrer que $$S_{k}-\dfrac{\ln 2}{2^{2}}\leq\int_{2}^{k}g_{2}(t)\mathrm{d}t\leq S_{k}-\dfrac{\ln k}{k^{2}}.$$ 

 

En déduire un encadrement de $S_{k}.$

 

c) En utilisant la valeur de $A$, montrer que la suite $\left(S_{k}\right)_k\geq 2$ est majorée.

 

d) Montrer que la suite $\left(S_{k}\right)_k\geq 2$ est convergente et que sa limite $l$ vérifie : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln 2}{2}\leq l\leq\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\ln 2}{4}.$