Devoir n°14 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
I. On considère les fonctions définies sur D=]−∞ ; −1]∪[1 ; +∞[ par :
S(x)=√x2+1−√x2−1
et T(x)=(√x2+1+√x2−1)tan(√x2+1−√x2−1)
1. Montrer que ∀x∈D, T(x)=2tan[S(x)]S(x).
2. Déterminer limx⟶+∞S(x)etlimx⟶+∞T(x).
II. Soit k une fonction numérique continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[.
On suppose que k(0)=1et∀x∈]0, [, k′(x)=−2π√1−x2.
1. On pose pour tout x∈[0, π2], μ(x)=k(cosx).
Montrer que la fonction μ est dérivable et que sa dérivée est constante.
2. Montrer alors que ∀x∈[0, π2], μ(x)=2πx.
Calculer alors k(1).
3. Montrer que k est une bijection de [0, 1] sur [0, 1].
Calculer alors k−1(x).
Exercice 2
Soit la fonction φ définie sur I=[−3π4, π4] par φ(x)=sinx+cosx
1. Montrer que φ est une bijection de l'intervalle I sur un intervalle J à déterminer.
2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la bijection réciproque φ−1, de φ sur J.
3. Calculer φ−1(−√2), φ−1(√2), φ−1(−1)etφ−1(1).
4. On pose α=cosφ−1(x)etβ=sinφ−1(x).
En utilisant φ(φ−1(x))=x, Montrer que α et β sont solutions de l'équation d'inconnue t(E) : t2−xt+x2−12=0.
5. Déduire alors que (φ−1)′(x)=1√2−x2.
6. Montrer que φ(x)=2x admet une solution unique α dans ]0, π4[ et que 0.7<α<0.8.
7. Soit ω(x)=13cosx+13sinx−23x, x∈R
Montrer que ω(α)=0et que : ∀x∈]0.7 ; 0.8[, |ω′(x)|≤0.69.
En déduire ∀x∈]0.7 ; 0.8[, |φ(x)|≤4.07x+2.07α.
8. Calculer sinαcosα, sin2α, cos3α+sin3α en fonction de α.
Problème
La fonction f est définie sur ]0 ; +∞[ par f(x)=xlnxx+1
Partie A :
On se propose d'étudier l'équation f(x)=n, où n est un entier naturel non nul.
1. Soit φ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par φ(x)=lnx+x+1.
Établir que l'équation φ(x)=0 admet une solution β et une seule, encadrer β à 10−2.
2. Exprimer f′(x) à l'aide de φ(x).
En déduire que pour tout n, l'équation f(x)=n admet une solution αn et une seule.
Partie B :
Comparaison de αn à en
1. Établir que f(en)≤n.
En déduire αn≥en.
2. Prouver que la relation f(αn)=n peut s'écrire sous la forme : ln(αnen)=nαn(I)
3. En déduire, à l'aide de la question 1), la limite de αnen lorsque n tend vers +∞.
Partie C :
Comparaison de αn à en+n
On écrit αn sous la forme : αn=en(1+εn),oùεn≥0(II)
1. A l'aide de (I), exprimer (1+εn)ln(1+εn) en fonction de n.
2. Établir que, pour tout t≥0 :$$0\geq(1+t)\ln(1+t)-t\leq\dfrac{t^{2}}{2}.$
3. Déduire des questions 1) et 2) que pour tout n≥1 : εn≤ne−n≤εn+ε2n2,
et que : 0≤ne−n−εn≤n22e−2n(III)
4. A l'aide de (I) et (III), déterminer la limite de en+n−αn lorsque n tend vers +∞.
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