Devoir n°14 - Ts1

 

I. On considère les fonctions définies sur $D=]-\infty\ ;\ -1]\cup\;[1\ ;\ +\infty[$ par : 

 

$S(x)=\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}$

 

et $T(x)=\left(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}\right)\tan\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right)$

 

1. Montrer que $\forall\;x\in\;D\;,\ T(x)=2\dfrac{\tan[S(x)]}{S(x)}.$

 

2. Déterminer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}S(x)\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}T(x).$

 

II. Soit $k$ une fonction numérique continue sur $[0\;,\ 1]$ et dérivable sur $]0\;,\ 1[.$ 

 

On suppose que $k(0)=1\quad\text{et}\quad\forall\;x\in\;]0\;,\ [\;,\ k'(x)=\dfrac{-2}{\pi\sqrt{1-x^{2}}}.$

 

1. On pose pour tout $x\in\left[0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right]\;,\ \mu(x)=k(\cos x).$

 

Montrer que la fonction $\mu$ est dérivable et que sa dérivée est constante. 

 

2. Montrer alors que $\forall\;x\in\left[0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right]\;,\ \mu(x)=\dfrac{2}{\pi}x.$ 

 

Calculer alors $k(1).$

 

3. Montrer que $k$ est une bijection de $[0\;,\ 1]$ sur $[0\;,\ 1].$ 

 

Calculer alors $k^{-1}(x).$

Soit la fonction $\varphi$ définie sur $I=\left[-\dfrac{3\pi}{4}\;,\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ par $\varphi(x)=\sin x+\cos x$

 

1. Montrer que $\varphi$ est une bijection de l'intervalle $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

 

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la bijection réciproque $\varphi^{-1}$, de $\varphi$ sur $J.$ 

 

3. Calculer $\varphi^{-1}\left(-\sqrt{2}\right)\;,\ \varphi^{-1}\left(\sqrt{2}\right)\;,\ \varphi^{-1}(-1)\quad\text{et}\quad\varphi^{-1}(1).$

 

4. On pose $\alpha=\cos\varphi^{-1}(x)\quad\text{et}\quad\beta=\sin\varphi^{-1}(x).$ 

 

En utilisant $\varphi\left(\varphi^{-1}(x)\right)=x$, Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont solutions de l'équation d'inconnue $t(E)\ :\ t^{2}-xt+\dfrac{x^{2}-1}{2}=0.$

 

5. Déduire alors que $\left(\varphi^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2-x^{2}}}.$

 

6. Montrer que $\varphi(x)=2x$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{4}\right[$ et que $0.7<\alpha<0.8.$

 

7. Soit $\omega(x)=\dfrac{1}{3}\cos x+\dfrac{1}{3}\sin x-\dfrac{2}{3}x\;,\ x\in\mathbb{R}$

 

Montrer que $\omega(\alpha)=0\quad\text{et que : }\quad\forall\;x\in\;]0.7\ ;\ 0.8[\;,\ |\omega'(x)|\leq 0.69.$

 

En déduire $\forall\;x\in\;]0.7\ ;\ 0.8[\;,\ |\varphi(x)|\leq 4.07x+2.07\alpha.$

 

8. Calculer $\sin\alpha\cos\alpha\;,\ \sin2\alpha\;,\ \cos^{3}\alpha+\sin^{3}\alpha$ en fonction de $\alpha.$

La fonction $f$ est définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par  $f(x)=\dfrac{x\ln x}{x+1}$

 

Partie A : 

 

On se propose d'étudier l'équation $f(x)=n$, où $n$ est un entier naturel non nul.

 

1. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $\varphi(x)=\ln x+x+1.$ 

 

Établir que l'équation $\varphi(x)=0$ admet une solution $\beta$ et une seule, encadrer $\beta$ à $10^{-2}.$

 

2. Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $\varphi(x).$ 

 

En déduire que pour tout $n$, l'équation $f(x)=n$ admet une solution $\alpha_{n}$ et une seule. 

 

Partie B :

Comparaison de $\alpha_{n}$ à $\mathit{e}^{n}$

 

1. Établir que $f\left(\mathrm{e}^{n}\right)\leq n.$

 

En déduire $\alpha_{n}\geq\mathrm{e}^{n}.$ 

 

2. Prouver que la relation $f\left(\alpha_{n}\right)=n$ peut s'écrire sous la forme : $\ln\left(\dfrac{\alpha_{n}}{\mathrm{e}^{n}}\right)=\dfrac{n}{\alpha_{n}}\quad(I)$

 

3. En déduire, à l'aide de la question 1), la limite de $\dfrac{\alpha_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.$

 

Partie C :

Comparaison de $\alpha_{n}$ à $\mathrm{e}^{n}+n$ 

 

On écrit $\alpha_{n}$ sous la forme : $\alpha_{n}=\mathrm{e}^{n}\left(1+\varepsilon_{n}\right)\;,\quad\text{où}\quad\varepsilon_{n}\geq 0\quad(II)$

 

1. A l'aide de (I), exprimer $\left(1+\varepsilon_{n}\right)\ln\left(1+\varepsilon_{n}\right)$ en fonction de $n.$ 

 

2. Établir que, pour tout $t\geq 0$ :$$0\geq(1+t)\ln(1+t)-t\leq\dfrac{t^{2}}{2}.$

 

3. Déduire des questions 1) et 2) que pour tout $n\geq 1$ : $$\varepsilon_{n}\leq\,n\mathrm{e}^{-n}\leq\varepsilon_{n}+\dfrac{\varepsilon_{n}^{2}}{2}\;,$$

$$\text{et que : }0\leq\,n\mathrm{e}^{-n}-\varepsilon_{n}\leq\dfrac{n^{2}}{2}\mathrm{e}^{-2n}\quad(III)$$

 

4. A l'aide de (I) et (III), déterminer la limite de $\mathrm{e}^{n}+n-\alpha_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.$