Devoir n°15 - Ts1
Classe:
Terminale
Problème
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, →i ; →j) d'unité graphique 3cm
Partie I
On considère la fonction fm à variable réelle définie par : fm(x)=12ln(m+xm−x)oùm est un paramètre réel non nul.
On note (Cm) la courbe représentative de fm dans le repère (O, →i ; →j).
1. Déterminer le domaine de définition Dm de fm.
2. a. Montrer que fm est impaire.
b. Calculer les limites de fm aux bornes de Dm.
c. Montrer que pour tout réel m non nul, on a : ∀x∈Dm, f−m(x)=−fm(x).
3. On suppose dans cette question que m est un réel strictement positif.
a. Étudier les variations de fm.
b. Montrer que fm réalise une bijection de Dm sur un intervalle J à préciser.
c. Soit f−1m la bijection réciproque de fm.
Définir f−1m.
Partie II
1. Dresser le tableau de variations de f1.
2. Soit (T) la tangente à \left(\mathcal{C}_{1} au point d'abscisse 0 et étudier la position de \left(\mathcal{C}_{1} par rapport à (T).
3. Construire dans le même repère \left(\mathcal{C}_{1} et (T).
4. Tracer la courbe (Cf−1) représentative de la fonction (f−11) dans le même repère que \left(\mathcal{C}_{1}.
Partie III
1. Soit ϕ une primitive de (f−11) sur R.
a. Démontrer que ϕ∘f1 est une primitive de la fonction x↦xf′1(x) sur ]−1 ; 1[.
b. Démontrer alors que pour tous réels a et b appartenant à l'intervalle ]−1 ; 1[, on a :∫f1(b)f1(a)f−11(t)dt=∫batf′1(t)dt
c. En déduire que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]−1 ; 1[, on a : ∫f1(x)0f−11(t)dt=∫x0tf′1(t)dt
2. Soit x un élément de ]−1 ; 1[.
a. Démontrer que ∫x0tf′1(t)dt=−12ln(1−x2).
b. En déduire que pour tout élément y de R, ∫y0f−11(t)dt=ln(ey+e−y2).
c. Calculer alors l'aire A, en cm2, de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf−11) de f−11, les droites d'équations x=0 et x=1 et l'axe des abscisses.
3. Soit x un réel et A le point de (Cf−11) d'abscisse ln(√2).
a. Montrer qu'on a : (f−11(x))′=1−(f−11(x))2
b. En déduire le volume du solide engendré par la rotation de l'arc ⌢OA de (Cf−11) autour
de l'axe des abscisses.
Partie IV
Soit x un nombre réel.
Pour tout entier naturel n non nul, on pose :Fn(x)=∫x0(f−11(t))ndt.
1. a. Montrer que ∀x∈R+, ∀n∈N∗,on a :0≤Fn(x)≤x(f−11(x))n.
c. En déduire, pour tout réel positif x fixé, la limite de Fn(x).
2. a. Montrer que : ∀n∈N∗, Fn+2(x)=Fn(x)−1n+1(f−11(x))n+1.
b. En déduire que : ∀n∈N∗, F2n(x)=x−p=n∑p=1(12p−1)(f−11(x))2p−1.
3. a. Montrer que pour tout réel x appartenant à [0 ; 1[ et pour tout entier naturel n non nul, on a :x+13x+…+12n−1x2n−1=f1(x)−F2n(f1(x))
b. En déduire limn⟶∞(13+13×33+…+1(2n−1)×32n−1)
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