Devoir n°15 - Ts1

 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité graphique $3\,cm$

 

Partie I

 

On considère la fonction $f_{m}$ à variable réelle définie par : $f_{m}(x)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)\quad{où}\quad m$ est un paramètre réel non nul. 

 

On note $\left(\mathcal{C}_{m}\right)$ la courbe représentative de $f_{m}$ dans le repère $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).$

 

1. Déterminer le domaine de définition $D_{m}$ de $f_{m}.$

 

2. a. Montrer que $f_{m}$ est impaire.

 

b. Calculer les limites de $f_{m}$ aux bornes de $D_{m}.$

 

c. Montrer que pour tout réel $m$ non nul, on a : $\forall\;x\in\;D_{m}\;,\ f_{-m}(x)=-f_{m}(x).$

 

3. On suppose dans cette question que $m$ est un réel strictement positif.

 

a. Étudier les variations de $f_{m}.$

 

b. Montrer que $f_{m}$ réalise une bijection de $D_{m}$ sur un intervalle $J$ à préciser.

 

c. Soit $f_{m}^{-1}$ la bijection réciproque de $f_{m}.$ 

 

Définir $f_{m}^{-1}.$

 

Partie II

 

1. Dresser le tableau de variations de $f_{1}.$

 

2. Soit $(T)$ la tangente à $\left(\mathcal{C}_{1}$ au point d'abscisse $0$ et étudier la position de $\left(\mathcal{C}_{1}$ par rapport à $(T).$

 

3. Construire dans le même repère $\left(\mathcal{C}_{1}$ et $(T).$

 

4. Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{f^{-1}}\right)$ représentative de la fonction $\left(f_{1}^{-1}\right)$ dans le même repère que $\left(\mathcal{C}_{1}.$

 

Partie III

 

1. Soit $\phi$ une primitive de $\left(f_{1}^{-1}\right)$ sur $\mathbb{R}.$

 

a. Démontrer que $\phi\circ\;f_{1}$ est une primitive de la fonction $x\mapsto\;xf_{1}^{\prime}(x)$ sur $]-1\ ;\ 1[.$

 

b. Démontrer alors que pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à l'intervalle $]-1\ ;\ 1[$, on a :$$\int_{f_{1}(a)}^{f_{1}(b)}\;f_{1}^{-1}(t)\mathrm{d}t=\int_{a}^{b}\;tf_{1}^{\prime}(t)\mathrm{d}t$$

 

c. En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1\ ;\ 1[$, on a : $$\int_{0}^{f_{1}(x)}\,f_{1}^{-1}(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{x}\,tf_{1}^{\prime}(t)\mathrm{d}t$$

 

2. Soit $x$ un élément de $]-1\ ;\ 1[.$

 

a. Démontrer que $$\int_{0}^{x}\;tf_{1}^{\prime}(t)\mathrm{d}t=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^{2}\right).$$

 

b. En déduire que pour tout élément $y$ de $\mathbb{R}\;,\ \int_{0}^{y}\;f_{1}^{-1}(t)\mathrm{d}t=\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{y}+\mathrm{e}^{-y}}{2}\right).$

 

c. Calculer alors l'aire $\mathfrak{A}$, en $cm^{2}$, de la partie du plan délimitée par la courbe $\left(\mathcal{C}_{f_{1}^{-1}}\right)$ de $f_{1}^{-1}$, les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ et l'axe des abscisses.

 

3. Soit $x$ un réel et $A$ le point de $\left(\mathcal{C}_{f_{1}^{-1}}\right)$ d'abscisse $\ln\left(\sqrt{2}\right).$

 

a. Montrer qu'on a : $\left(f_{1}^{-1}(x)\right)^{\prime}=1-\left(f_{1}^{-1}(x)\right)^{2}$

 

b. En déduire le volume du solide engendré par la rotation de l'arc $\overset\displaystyle\frown{OA}$ de $\left(\mathcal{C}_{f_{1}^{-1}}\right)$ autour

de l'axe des abscisses.

 

Partie IV

 

Soit $x$ un nombre réel. 

 

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose :$$F_{n}(x)=\int_{0}^{x}\left(f_{1}^{-1}(t)\right)^{n}\mathrm{d}t.$$ 

 

1. a. Montrer que $\forall\;x\in\mathbb{R}+\;,\ \forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\quad\text{on a :}\quad 0\leq F_{n}(x)\leq x\left(f_{1}^{-1}(x)\right)^{n}.$

 

c. En déduire, pour tout réel positif $x$ fixé, la limite de $F_{n}(x).$

 

2. a. Montrer que : $\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ F_{n+2}(x)=F_{n}(x)-\dfrac{1}{n+1}\left(f_{1}^{-1}(x)\right)^{n+1}.$

 

b. En déduire que : $$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ F_{2n}(x)=x-\sum_{p=1}^{p=n}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\left(f_{1}^{-1}(x)\right)^{2p-1}.$$

 

3. a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0\ ;\ 1[$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :$$x+\dfrac{1}{3}x+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}x^{2n-1}=f_{1}(x)-F_{2n}\left(f_{1}(x)\right)$$

 

b. En déduire $$\lim\limits_{n\longrightarrow\;\infty}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\times 3^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{(2n-1)\times3^{2n-1}}\right)$$