Devoir n°16 - Ts1

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1 

1) Soit a et b deux réels vérifiant 0ab.
 
Démontrer les relations :a<ab<b(i)eta<2aba+b<a+b2<b(ii)
 
2) Soit (an) et (bn) deux suites définies pour n1 par :
 
{b1=23eta1=3bn+1=2anbnan+bnetan+1=anbn+1
 
En utilisant le 1.a), démontrer par récurrence que :
 
Pour tout n1.0an<bn.
 
3) En déduire le sens de variation des suites (an) et (bn)
 
4) Montrer que les suites (an) et (bn) sont convergentes
 
5) Démontrer que , pour n1 : bn+1an+112(bnan)
 
(on pourra utiliser (i) et (ii)).
 
6) En déduire que , pour n1, bnan12n et que les suites (an) et (bn) convergent vers la même limite.

Exercice 2 

Pour tout entier naturel n2, on considère la fonction polynômiale pn définie pour tout xR+ par ∶ pn(x)=1+nk=1xk
 
1) a) Étudier le sens de variation de pn sur R+ et préciser pn(0) et pn(1).
 
b) En déduire que, pour n2, pn admet une racine unique an dans ]0 ; 1[.
 
Donner la valeur exacte de a2
 
2) a) Démontrer que pour tout entier n2, on a : pn+1(an)<0
 
b) En déduire le sens de variation de la suite (an).
 
La suite (an) est-elle convergente ?
 
3) a) Démontrer que pour x1, on a :pn+1(x)=xn+12x+1x1
 
En déduire que pour tout n2, on a : an+1n2an+=0
 
b) Justifier, que pour que n2, ana2<1 et 0<2an1an+12
 
c) En déduire limn+an

Problème 

Partie A
 
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x1x22x+2
 
1) Montrer que f est dérivable sur R et que : f(x)=1(x22x+2)3
 
2) Montrer que f réalise une bijection de R vers un intervalle J à préciser
 
3) Tracer la courbe (C de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i ; j) Unité graphique : 2cm
 
4) Montrer que la bijection réciproque f1 de f est dérivable sur ]1 ; 1[ et on a : x]1 ; 1[ : f1(x)=1+x1x2
 
Indication : t22t+2=(t1)2+1
 
5) Tracer la courbe (C) de f1 dans le même repère.
 
Partie B
 
Soit g la fonction définie sur ]π2 ; π2[ par : g(x)=sinx+f1(sinx)tanx
 
1) Montrer que x]π2 ; π2[ : g(x)=1+sinx
 
2) Montrer que g réalise une bijection de ]π2 ; π2[ vers ]0 ; 2[
 
3) Montrer que : x]0 ; 2[ : (g1)(x)=12xx2
 
Partie C
 
Soit φ la fonction définie sur ]0 ; 2[ par : φ(x)=g1(x)+g1(2x)
 
1) Montrer que φ est dérivable sur ]0 ; 2[ puis calculer φ(x)
 
2) Montrer que : x]0 ; 2[ ; g1 (x)+g1(2x)=0
 
Interpréter géométriquement le résultat
 
3) Soit (un)n1 la suite définie par :un=nk=1[g1(1k)+g1(2k+1k+1)]
 
a) Montrer que la suite (un)n1 est parfaitement définie
 
b) Vérifier que : φ(2k+1k+1)=g1(2k+1k+1)+g1(1k+1)
 
c) En déduire que : un=g1(1n+1)
 
d) Calculer la limite de la suite (un)n1
 
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