Devoir n°16 - Ts1

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1 

1) Soit aa et bb deux réels vérifiant 0ab.0ab.
 
Démontrer les relations :a<ab<b(i)eta<2aba+b<a+b2<b(ii)a<ab<b(i)eta<2aba+b<a+b2<b(ii)
 
2) Soit (an)(an) et (bn)(bn) deux suites définies pour n1n1 par :
 
{b1=23eta1=3bn+1=2anbnan+bnetan+1=anbn+1b1=23eta1=3bn+1=2anbnan+bnetan+1=anbn+1
 
En utilisant le 1.a), démontrer par récurrence que :
 
Pour tout n1.0an<bn.n1.0an<bn.
 
3) En déduire le sens de variation des suites (an)(an) et (bn)(bn)
 
4) Montrer que les suites (an)(an) et (bn)(bn) sont convergentes
 
5) Démontrer que , pour n1 : bn+1an+112(bnan)n1 : bn+1an+112(bnan)
 
(on pourra utiliser (i) et (ii)).
 
6) En déduire que , pour n1, bnan12nn1, bnan12n et que les suites (an)(an) et (bn)(bn) convergent vers la même limite.

Exercice 2 

Pour tout entier naturel n2n2, on considère la fonction polynômiale pnpn définie pour tout xR+xR+ par ∶ pn(x)=1+nk=1xkpn(x)=1+nk=1xk
 
1) a) Étudier le sens de variation de pnpn sur R+R+ et préciser pn(0)pn(0) et pn(1).pn(1).
 
b) En déduire que, pour n2n2, pnpn admet une racine unique anan dans ]0 ; 1[.]0 ; 1[.
 
Donner la valeur exacte de a2a2
 
2) a) Démontrer que pour tout entier n2n2, on a : pn+1(an)<0pn+1(an)<0
 
b) En déduire le sens de variation de la suite (an).(an).
 
La suite (an)(an) est-elle convergente ?
 
3) a) Démontrer que pour x1x1, on a :pn+1(x)=xn+12x+1x1pn+1(x)=xn+12x+1x1
 
En déduire que pour tout n2n2, on a : an+1n2an+=0an+1n2an+=0
 
b) Justifier, que pour que n2n2, ana2<1ana2<1 et 0<2an1an+120<2an1an+12
 
c) En déduire limn+anlimn+an

Problème 

Partie A
 
Soit ff la fonction définie sur RR par : f(x)=x1x22x+2f(x)=x1x22x+2
 
1) Montrer que ff est dérivable sur RR et que : f(x)=1(x22x+2)3f(x)=1(x22x+2)3
 
2) Montrer que f réalise une bijection de RR vers un intervalle JJ à préciser
 
3) Tracer la courbe (C(C de ff dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i ; j)(O, i ; j) Unité graphique : 2cm2cm
 
4) Montrer que la bijection réciproque f1f1 de ff est dérivable sur ]1 ; 1[]1 ; 1[ et on a : x]1 ; 1[ : f1(x)=1+x1x2x]1 ; 1[ : f1(x)=1+x1x2
 
Indication : t22t+2=(t1)2+1t22t+2=(t1)2+1
 
5) Tracer la courbe (C)(C) de f1f1 dans le même repère.
 
Partie B
 
Soit gg la fonction définie sur ]π2 ; π2[]π2 ; π2[ par : g(x)=sinx+f1(sinx)tanxg(x)=sinx+f1(sinx)tanx
 
1) Montrer que x]π2 ; π2[ : g(x)=1+sinxx]π2 ; π2[ : g(x)=1+sinx
 
2) Montrer que gg réalise une bijection de ]π2 ; π2[]π2 ; π2[ vers ]0 ; 2[]0 ; 2[
 
3) Montrer que : x]0 ; 2[ : (g1)(x)=12xx2x]0 ; 2[ : (g1)(x)=12xx2
 
Partie C
 
Soit φφ la fonction définie sur ]0 ; 2[]0 ; 2[ par : φ(x)=g1(x)+g1(2x)φ(x)=g1(x)+g1(2x)
 
1) Montrer que φφ est dérivable sur ]0 ; 2[]0 ; 2[ puis calculer φ(x)φ(x)
 
2) Montrer que : x]0 ; 2[ ; g1 (x)+g1(2x)=0x]0 ; 2[ ; g1 (x)+g1(2x)=0
 
Interpréter géométriquement le résultat
 
3) Soit (un)n1(un)n1 la suite définie par :un=nk=1[g1(1k)+g1(2k+1k+1)]un=nk=1[g1(1k)+g1(2k+1k+1)]
 
a) Montrer que la suite (un)n1(un)n1 est parfaitement définie
 
b) Vérifier que : φ(2k+1k+1)=g1(2k+1k+1)+g1(1k+1)φ(2k+1k+1)=g1(2k+1k+1)+g1(1k+1)
 
c) En déduire que : un=g1(1n+1)un=g1(1n+1)
 
d) Calculer la limite de la suite (un)n1
 
Auteur: 

Ajouter un commentaire