Devoir n°16 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
1) Soit $a$ et $b$ deux réels vérifiant $0\leq a\leq b.$
Démontrer les relations :$$a<\sqrt{ab}<b\quad(i)\quad\text{et}\quad a<\dfrac{2ab}{a+b}<\dfrac{a+b}{2}<b\quad(ii)$$
2) Soit $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ deux suites définies pour $n\geq 1$ par :
$\left\lbrace\begin{array}{lcl} b_{1}&=&2\sqrt{3}\quad\text{et}\quad a_{1}=3\\b_{n+1}&=&\dfrac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}\quad\text{et}\quad a_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n+1}} \end{array}\right.$
En utilisant le 1.a), démontrer par récurrence que :
Pour tout $n\geq 1.0\leq a_{n}<b_{n}.$
3) En déduire le sens de variation des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$
4) Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ sont convergentes
5) Démontrer que , pour $n\geq 1\ :\ b_{n+1}-a_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-a_{n}\right)$
(on pourra utiliser (i) et (ii)).
6) En déduire que , pour $n\geq 1\;,\ b_{n}-a_{n}\leq\dfrac{1}{2^{n}}$ et que les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ convergent vers la même limite.
Exercice 2
Pour tout entier naturel $n\geq 2$, on considère la fonction polynômiale $p_{n}$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}+$ par ∶ $$p_{n}(x)=-1+\sum_{k=1}^{n}\;x^{k}$$
1) a) Étudier le sens de variation de $p_{n}$ sur $\mathbb{R}+$ et préciser $p_{n}(0)$ et $p_{n}(1).$
b) En déduire que, pour $n\geq 2$, $p_{n}$ admet une racine unique $a_{n}$ dans $]0\ ;\ 1[.$
Donner la valeur exacte de $a_{2}$
2) a) Démontrer que pour tout entier $n\geq 2$, on a : $p_{n+1}\left(a_{n}\right)<0$
b) En déduire le sens de variation de la suite $\left(a_{n}\right).$
La suite $\left(a_{n}\right)$ est-elle convergente ?
3) a) Démontrer que pour $x\neq 1$, on a :$$p_{n+1}(x)=\dfrac{x^{n+1}-2x+1}{x-1}$$
En déduire que pour tout $n\geq 2$, on a : $a_{n}^{n+1}-2a_{n}+=0$
b) Justifier, que pour que $n\geq 2$, $a_{n}\leq a_{2}<1$ et $0<2a_{n}-1\leq a_{2}^{n+1}$
c) En déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\;a_{n}$
Problème
Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}$
1) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que : $$f'(x)=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x^{2}-2x+2}\right)}^{3}$$
2) Montrer que f réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$ à préciser
3) Tracer la courbe $(\mathcal{C}$ de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ Unité graphique : $2\,cm$
4) Montrer que la bijection réciproque $f^{-1}$ de $f$ est dérivable sur $]-1\ ;\ 1[$ et on a : $\forall\;x\in\;]-1\ ;\ 1[\ :\ f^{-1}(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
Indication : $t^{2}-2t+2=(t-1)^{2}+1$
5) Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}^{\prime}\right)$ de $f^{-1}$ dans le même repère.
Partie B
Soit $g$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par : $g(x)=\sin x+f^{-1}(\sin x)-\tan x$
1) Montrer que $\forall\;x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\ :\ g(x)=1+\sin x$
2) Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ vers $]0\ ;\ 2[$
3) Montrer que : $\forall\;x\in\;]0\ ;\ 2[\ :\ \left(g^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-x^{2}}}$
Partie C
Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0\ ;\ 2[$ par : $\varphi(x)=g^{-1}(x)+g^{-1}(2-x)$
1) Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $]0\ ;\ 2[$ puis calculer $\varphi^{\prime}(x)$
2) Montrer que : $\forall\;x\in\;]0\ ;\ 2[\ ;\ g^{-1}\ (x)+g^{-1}(2-x)=0$
Interpréter géométriquement le résultat
3) Soit $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ la suite définie par :$$u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[g^{-1}\left(\dfrac{1}{k}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)\right]$$
a) Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ est parfaitement définie
b) Vérifier que : $\varphi\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)=g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{1}{k+1}\right)$
c) En déduire que : $u_{n}=-g^{-1}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$
d) Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$
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