Devoir n°16 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
1) Soit a et b deux réels vérifiant 0≤a≤b.
Démontrer les relations :a<√ab<b(i)eta<2aba+b<a+b2<b(ii)
2) Soit (an) et (bn) deux suites définies pour n≥1 par :
{b1=2√3eta1=3bn+1=2anbnan+bnetan+1=√anbn+1
En utilisant le 1.a), démontrer par récurrence que :
Pour tout n≥1.0≤an<bn.
3) En déduire le sens de variation des suites (an) et (bn)
4) Montrer que les suites (an) et (bn) sont convergentes
5) Démontrer que , pour n≥1 : bn+1−an+1≤12(bn−an)
(on pourra utiliser (i) et (ii)).
6) En déduire que , pour n≥1, bn−an≤12n et que les suites (an) et (bn) convergent vers la même limite.
Exercice 2
Pour tout entier naturel n≥2, on considère la fonction polynômiale pn définie pour tout x∈R+ par ∶ pn(x)=−1+n∑k=1xk
1) a) Étudier le sens de variation de pn sur R+ et préciser pn(0) et pn(1).
b) En déduire que, pour n≥2, pn admet une racine unique an dans ]0 ; 1[.
Donner la valeur exacte de a2
2) a) Démontrer que pour tout entier n≥2, on a : pn+1(an)<0
b) En déduire le sens de variation de la suite (an).
La suite (an) est-elle convergente ?
3) a) Démontrer que pour x≠1, on a :pn+1(x)=xn+1−2x+1x−1
En déduire que pour tout n≥2, on a : an+1n−2an+=0
b) Justifier, que pour que n≥2, an≤a2<1 et 0<2an−1≤an+12
c) En déduire limn⟶+∞an
Problème
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x−1√x2−2x+2
1) Montrer que f est dérivable sur R et que : f′(x)=1(√x2−2x+2)3
2) Montrer que f réalise une bijection de R vers un intervalle J à préciser
3) Tracer la courbe (C de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, →i ; →j) Unité graphique : 2cm
4) Montrer que la bijection réciproque f−1 de f est dérivable sur ]−1 ; 1[ et on a : ∀x∈]−1 ; 1[ : f−1(x)=1+x√1−x2
Indication : t2−2t+2=(t−1)2+1
5) Tracer la courbe (C′) de f−1 dans le même repère.
Partie B
Soit g la fonction définie sur ]−π2 ; π2[ par : g(x)=sinx+f−1(sinx)−tanx
1) Montrer que ∀x∈]−π2 ; π2[ : g(x)=1+sinx
2) Montrer que g réalise une bijection de ]−π2 ; π2[ vers ]0 ; 2[
3) Montrer que : ∀x∈]0 ; 2[ : (g−1)′(x)=1√2x−x2
Partie C
Soit φ la fonction définie sur ]0 ; 2[ par : φ(x)=g−1(x)+g−1(2−x)
1) Montrer que φ est dérivable sur ]0 ; 2[ puis calculer φ′(x)
2) Montrer que : ∀x∈]0 ; 2[ ; g−1 (x)+g−1(2−x)=0
Interpréter géométriquement le résultat
3) Soit (un)n≥1 la suite définie par :un=n∑k=1[g−1(1k)+g−1(2k+1k+1)]
a) Montrer que la suite (un)n≥1 est parfaitement définie
b) Vérifier que : φ(2k+1k+1)=g−1(2k+1k+1)+g−1(1k+1)
c) En déduire que : un=−g−1(1n+1)
d) Calculer la limite de la suite (un)n≥1
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