Bac Maths 2e groupe S1, S1A, S3 2024

 

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse choisie. 

 

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

 

1) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$, on considère la similitude plane directe $f$ d'écriture complexe $z'=\dfrac{3}{2}(1-\mathrm{i})z+4-2\mathrm{i}.$

 

Proposition 1 :

 

$f=r\circ h\text{ où }h$ est l'homothétie de rapport $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ et de centre $\Omega$ d'affixe $-2-2\mathrm{i}\text{ et }r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}.$

 

2) L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}\right).$

 

Soit $\Sigma$ la surface d'équation $x=y^{2}+z^{2}.$ 

 

Proposition 2 : 

 

La section de la surface $\sigma$ et du plan d'équation $z=\lambda\text{ où }\lambda$ est un réel, est une hyperbole.

 

3) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right).$

 

Proposition 3 : 

 

La similitude plane directe de rapport $2$, d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ et de centre le point $I$ d'affixe $1-\mathrm{i}$ a pour écriture complexe $z'=\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)z+\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{3}.$ 

 

4) Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}\right)$ on considère les points $A(1\;,\ 2\;,\ 3)\;,\ B(0\;,\ 1\;,\ 4)\;,\ C(-1\;,\ -3\;,\ 2)\text{ et }D(4\;,\ -2\;,\ 5).$

 

Proposition 4 : 

 

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

 

5) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right).$

 

On considère un point $A$ d'affixe $a.$

 

On note $s$ la réflexion d'axe $\left(O\;,\ \vec{u}\right)$ et $s_{A}$ la symétrie centrale de centre $A.$

 

Proposition 5 : 

 

L'ensemble des nombres complexes $a$ tels que $s\circ S_{A}=S_{A}\circ S$ est l'ensemble des réels.

1) Déterminer le reste de la division euclidienne par $3$ de chacun des nombres $2^{364}$ et $5^{143.}$ 

 

2) Démontrer que pour tout entier relatif $n\;,\ n\left(n^{2}-4\right)$ est divisible par $3.$ 

 

3) Démontrer que pour tout entier naturel $n\;,\ 4^{n}\equiv\;1[3].$

 

4) Prouver que $4^{28}-1$ est divisible par $29.$

 

5) Montrer que le nombre dont l'écriture en base $3$ est $100100$ est divisible par $3.$ 

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ d'unité graphique $2\,cm.$

 

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par : $f(x)=x+\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)$ et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right).$

 

1) a) Étudier les variations de $f.$ 

 

b) En déduire le signe de $f$ sur $[0\;,\ +\infty[.$ 

 

c) Montrer que $(\mathcal{C})$ admet pour asymptote la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x.$

 

d) Construire $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D}).$

 

2) Soit $I$ l'intégrale définie par $$I=\int_{0}^{1}\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\mathrm{d}x.$$

 

a) Donner une interprétation géométrique de $I.$ 

 

b) Montrer que pour tout réel $t\geq 0\;,\ \dfrac{t}{1+t}\leq\ln(1+t)\leq t.$ 

 

c) En déduire que pour tout $x\in\;[0\;,\ +\infty[\;,\ \dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\leq\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)\leq\mathrm{e}^{-x}.$

 

d) Montrer que $\ln\left(\dfrac{2}{1+\mathrm{e}^{-1}}\right)\leq I\leq 1-\mathrm{e}^{-1}.$

 

3) On désigne par $M$ et $N$ deux points de même abscisse $x$ appartenant respectivement à $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D}).$

 

On dit que $M$ et $N$ sont indiscernables lorsque la distance $MN$ est inférieure à $0.5\,mm.$

 

Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $M$ et $N$ sont indiscernables.