Corrigé Exercice 3 : Racine carrée 3e

 

On considère les nombres réels définis par : 

$$X=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\quad\text{et}\quad Y=(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}$$

Montrons que $X\ $ et $\ Y$ sont des nombres entiers naturels.

 

On a : $X=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

 

En réduisant au même dénominateur on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\ \\&=&\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \\ \\&=&\dfrac{\sqrt{5}\times\sqrt{5}+\sqrt{5}\times\sqrt{3}-\sqrt{3}\times\sqrt{5}-\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} \\ \\&=&\dfrac{5+\sqrt{15}-\sqrt{15}+3}{5-3} \\ \\&=&\dfrac{5+3}{2}\\\\&=&\dfrac{8}{2} \\ \\&=&4 \end{array}$

 

Donc, $\boxed{X=4\quad\text{qui est bien un entier naturel}}$

 

Soit : $Y=(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} Y&=&(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}\\ \\&=&(3\sqrt{2})^{2}-2\times 3\sqrt{2}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}\\ \\&=&18-6\sqrt{2\times 3}+3+6\sqrt{6}\\ \\&=&21-6\sqrt{6}+6\sqrt{6}\\ \\&=&21\end{array}$

 

Donc, $\boxed{Y=21\quad\text{qui est bien un entier naturel}}$