Corrigé Exercice 6 : Racine carrée 3e

 

On donne les réels : $a=2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ $ et $\ b=\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}$

 

1) Rendons rationnel le dénominateur de $b.$ 

 

Soit $3\sqrt{2}-4$ l'expression conjuguée de $3\sqrt{2}+4$

 

Rendre rationnel le dénominateur de $b$ revient tout simplement à multiplier le numérateur et le dénominateur de $b$ par le même nombre $3\sqrt{2}-4.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} b&=&\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}\\ \\&=&\dfrac{1\times(3\sqrt{2}-4)}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)} \\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(3\sqrt{2})^{2}-(4)^{2}} \\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{18-16} \\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{2}\\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2 \end{array}$

 

D'où, $\boxed{b=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2}$

 

Montrons que les nombres $a\ $ et $\ b$ sont des opposés.

 

$a\ $ et $\ b$ non nuls sont opposés si, et seulement si, $a=-b$

 

Ou tout simplement $a\ $ et $\ b$ sont opposés s'ils vérifient $a+b=0$

 

Donc, si on a $a+b=0$ alors, on conclut que $a\ $ et $\ b$ sont opposés.

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} a+b&=&\left(2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}\right)\\ \\&=&\left(2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)+\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2\right)\\ \\&=&2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2\\ \\&=&2-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\ \\&=&0\end{array}$

 

Ce qui montre que $a\ $ et $\ b$ sont opposés.

 

2) Soit $A=\sqrt{(1-2\sqrt{2})^{2}}+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{18}.$

 

Montrons que $A=5-5\sqrt{2}$ 

 

On a : $A=\sqrt{(1-2\sqrt{2})^{2}}+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{18}=|1-2\sqrt{2}|+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{2\times 9}$

 

Cherchons le signe de $1-2\sqrt{2}$

 

On a : $1^{2}=1\ $ et $\ (2\sqrt{2})^{2}=4\times 2=8$

 

On remarque que $8>1$ donc, $1<2\sqrt{2}$

 

D'où, $1-2\sqrt{2}<0$

 

Ainsi, $|1-2\sqrt{2}|=-(1-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$

 

Donc, 

 

$\begin{array}{rcl} A&=&|1-2\sqrt{2}|+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{2\times 9}\\ \\&=&2\sqrt{2}-1+(\sqrt{2})^{2}-2\times\sqrt{2}\times 2+(2)^{2}-3\sqrt{2}\\ \\&=&2\sqrt{2}-1+2-4\sqrt{2}+4-3\sqrt{2}\\ \\&=&5-5\sqrt{2}\end{array}$

 

D'où $\boxed{A=5-5\sqrt{2}}$

 

Encadrons $A\ $ à $10^{-2}$ prés sachant que : 

$$1.414<\sqrt{2}<1.415.$$

On a : $1.414<\sqrt{2}<1.415$ alors, multiplions chaque membre par $-5$ tout en sachant que les inégalités changent de sens ;

$$-5\times 1.414>-5\sqrt{2}>-5\times 1.415$$

Ce qui donne : $-7.07>-5\sqrt{2}>-7.075$

 

En ajoutant $5$ à chaque membre on obtient :

$$5-7.07>5-5\sqrt{2}>5-7.075$$

Donc, $-2.07>5-5\sqrt{2}>-2.075$

 

D'où,

$$-2.075<5-5\sqrt{2}<-2.07$$

Par suite,

$$-2.08<5-5\sqrt{2}<-2.07\ \text{ à }\ 10^{-2}\ \text{ prés}$$

Ainsi, un encadrement de $A\ $ à $10^{-2}$ prés est donné par : 

$$\boxed{-2.08<A<-2.07}$$