Corrigé Exercice 7 : Racine carrée 3e

1) Calculons la valeur numérique de l'expression suivante : $$C=\dfrac{2x}{2-x}-\dfrac{2-x}{x}\quad\text{  pour }x=2-\sqrt{3}$$

Cela revient donc à remplacer $x$ par $2-\sqrt{3}$ dans l'expression de $C.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})}{2-(2-\sqrt{3})}-\dfrac{2-(2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})}{2-2+\sqrt{3}}-\dfrac{2-2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})-(\sqrt{3})\times(\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2\sqrt{3}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{2\times(4-4\sqrt{3}+3)-3}{2\sqrt{3}-3}\\\\&=&\dfrac{14-8\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}\\\\&=&\dfrac{11-8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-3}\end{array}$

Donc, pour $x=2-\sqrt{3}$, on trouve : $\boxed{C=\dfrac{11-8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-3}}$

2) Écrivons les expressions suivantes sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a\in\mathbb{Q}\ $ et $\ b\in\mathbb{N}$

Soit $A=\sqrt{363}+5\sqrt{3}+\sqrt{2}\times\sqrt{54}-3\sqrt{12}$

Alors, il suffit de mettre certains termes sous une forme plus simple puis, de calculer.

On a :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{363}&=&\sqrt{121\times 3}\\\\&=&\sqrt{121}\times\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{54}&=&\sqrt{9\times 6}\\\\&=&\sqrt{9}\times\sqrt{2\times 3}\\\\&=&3\sqrt{2}\times\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{12}&=&\sqrt{4\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}\end{array}$

Donc, en remplaçant dans l'expression de $A\;,\ \sqrt{363}\;,\ \sqrt{54}\ $ et $\ \sqrt{12}$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{363}+5\sqrt{3}+\sqrt{2}\times\sqrt{54}-3\sqrt{12}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+\sqrt{2}\times 3\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}-3\times 2\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+3\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+3\times 2\times\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\&=&16\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=16\sqrt{3}}$

Soit $B=\sqrt{20}-\dfrac{2}{3}\sqrt{80}+7\sqrt{2.45}$

On sait que :

$20=4\times 5$

$80=16\times 5$

$2.45=\dfrac{245}{100}=\dfrac{49\times 5}{100}$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&\sqrt{20}-\dfrac{2}{3}\sqrt{80}+7\sqrt{2.45}\\\\&=&\sqrt{4\times 5}-\dfrac{2}{3}\sqrt{16\times 5}+7\sqrt{\dfrac{49\times 5}{100}}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{5}-\dfrac{2}{3}\sqrt{16}\times\sqrt{5}+7\dfrac{\sqrt{49\times 5}}{\sqrt{100}}\\\\&=&2\times\sqrt{5}-\dfrac{2}{3}\times 4\times\sqrt{5}+7\dfrac{\sqrt{49}\times\sqrt{5}}{10}\\\\&=&2\sqrt{5}-\dfrac{8}{3}\sqrt{5}+\dfrac{7\times 7\times\sqrt{5}}{10}\\\\&=&2\sqrt{5}-\dfrac{8}{3}\sqrt{5}+\dfrac{49}{10}\sqrt{5}\\\\&=&\dfrac{60}{30}\sqrt{5}-\dfrac{80}{30}\sqrt{5}+\dfrac{147}{30}\sqrt{5}\\\\&=&\dfrac{(60-80+147)}{30}\sqrt{5}\\\\&=&\dfrac{127}{30}\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=\dfrac{127}{30}\sqrt{5}}$

Soit $C=2\sqrt{75}-4\sqrt{48}+7\sqrt{192}$

On sait que :

$75=25\times 3$

$48=16\times 3$

$192=64\times 3$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&2\sqrt{75}-4\sqrt{48}+7\sqrt{192}\\\\&=&2\sqrt{25\times 3}-4\sqrt{16\times 3}+7\sqrt{64\times 3}\\\\&=&2\sqrt{25}\times\sqrt{3}-4\sqrt{16}\times\sqrt{3}+7\sqrt{64}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\times 5\times\sqrt{3}-4\times 4\times\sqrt{3}+7\times 8\times\sqrt{3}\\\\&=&10\sqrt{3}-16\sqrt{3}+56\sqrt{3}\\\\&=&50\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{C=50\sqrt{3}}$

Soit $D=-15\sqrt{96}+18\sqrt{54}+3\sqrt{486}-21\sqrt{24}$

Alors, on sait que :

$96=16\times 6$

$54=9\times 6$

$486=81\times 6$

$24=4\times 6$

Donc, en remplaçant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} D&=&-15\sqrt{96}+18\sqrt{54}+3\sqrt{486}-21\sqrt{24}\\\\&=&-15\sqrt{16\times 6}+18\sqrt{9\times 6}+3\sqrt{81\times 6}-21\sqrt{4\times 6}\\\\&=&-15\sqrt{16}\times\sqrt{6}+18\sqrt{9}\times\sqrt{6}+3\sqrt{81}\times\sqrt{6}-21\sqrt{4}\times\sqrt{6}\\\\&=&-15\times 4\times\sqrt{6}+18\times 3\times\sqrt{6}+3\times 9\times\sqrt{6}-21\times 2\times\sqrt{6}\\\\&=&-60\sqrt{6}+54\sqrt{6}+27\sqrt{6}-42\sqrt{6}\\\\&=&-21\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{D=-21\sqrt{6}}$

Soit $E=\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{54}+\sqrt{\dfrac{24}{49}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} E&=&\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{54}+\sqrt{\dfrac{24}{49}}\\\\&=&\sqrt{2\times 3}-\sqrt{9\times 6}+\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}}\\\\&=&\sqrt{6}-\sqrt{9}\times\sqrt{6}+\dfrac{\sqrt{4\times 6}}{7}\\\\&=&\sqrt{6}-3\times\sqrt{6}+\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{6}}{7}\\\\&=&\sqrt{6}-3\sqrt{6}+\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\\\\&=&\dfrac{7\sqrt{6}}{7}-\dfrac{21\sqrt{6}}{7}+\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\\\\&=&\dfrac{7\sqrt{6}-21\sqrt{6}+2\sqrt{6}}{7}\\\\&=&-\dfrac{12}{7}\sqrt{6}\end{array}$

D'où, $\boxed{E=-\dfrac{12}{7}\sqrt{6}}$

Soit $F=\dfrac{7}{3}\sqrt{\dfrac{54}{16}}-\dfrac{6}{5}\sqrt{\dfrac{30}{20}}-\dfrac{9}{2}\sqrt{\dfrac{24}{81}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{7}{3}\sqrt{\dfrac{54}{16}}-\dfrac{6}{5}\sqrt{\dfrac{30}{20}}-\dfrac{9}{2}\sqrt{\dfrac{24}{81}}\\\\&=&\dfrac{7}{3}\dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{16}}-\dfrac{6}{5}\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{20}}-\dfrac{9}{2}\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{81}}\\\\&=&\dfrac{7}{3}\dfrac{\sqrt{9\times 6}}{4}-\dfrac{6}{5}\dfrac{\sqrt{5\times 6}}{\sqrt{4\times 5}}-\dfrac{9}{2}\dfrac{\sqrt{4\times 6}}{9}\\\\&=&\dfrac{7}{3}\times\dfrac{\sqrt{9}\times\sqrt{6}}{4}-\dfrac{6}{5}\times\dfrac{\sqrt{5}\times\sqrt{6}}{\sqrt{4}\times\sqrt{5}}-\dfrac{9}{2}\times\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{6}}{9}\\\\&=&\dfrac{7\times 3\times\sqrt{6}}{3\times 4}-\dfrac{6\times\sqrt{6}}{5\times 2}-\dfrac{9\times 2\times\sqrt{6}}{2\times 9}\\\\&=&\dfrac{7}{4}\sqrt{6}-\dfrac{3}{5}\sqrt{6}-\sqrt{6}\\\\&=&\dfrac{35}{20}\sqrt{6}-\dfrac{12}{20}\sqrt{6}-\dfrac{20}{20}\sqrt{6}\\\\&=&\dfrac{(35-12-20)}{20}\sqrt{6}\\\\&=&\dfrac{3}{20}\sqrt{6}\end{array}$

Donc, $\boxed{F=\dfrac{3}{20}\sqrt{6}}$