Corrigé Exercice 8 : Racine carrée 3e

 

1) Rendons rationnel le dénominateur des nombres suivants :
$${\displaystyle \frac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}$$
Soit le nombre $\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}$

Alors, l'expression conjuguée du dénominateur est égale à $3\sqrt{3}+5.$

Donc, pour rendre rationnel le nombre $\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}$, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $3\sqrt{3}+5.$

Ainsi, on a :

$$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}}& =& {\displaystyle \frac{(5-2\sqrt{3})(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{15\sqrt{3}+25-(2\sqrt{3})\times (3\sqrt{3})-10\sqrt{3}}{(3\sqrt{3}{)}^2-(5{)}^2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{15\sqrt{3}+25-18-10\sqrt{3}}{27-25}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{5\sqrt{3}+7}{2}}\end{array}$$$

D'où, $\boxed{\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}=\dfrac{5\sqrt{3}+7}{2}}$

Soit le nombre $\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}$

Alors, pour rendre rationnel ce nombre, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $\sqrt{3}.$

Donc, on a :

$$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}}& =& {\displaystyle \frac{(3\sqrt{5}-3)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times \sqrt{3}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{5}\times \sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2\times 3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{5\times 3}-3\sqrt{3}}{6}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{15}-3\sqrt{3}}{6}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{6}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}}$

Soit le nombre $\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$

Alors, l'expression conjuguée du dénominateur est égale à $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$

Donc, pour rendre rationnel le nombre $\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$

On obtient alors :

$$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}& =& {\displaystyle \frac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}{)}^2-(2\sqrt{3}{)}^2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{6}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}}\end{array}$$$

D'où, $\boxed{\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}}$

2) Mettons les expressions suivantes sous la forme :
$$a+b\sqrt{c}\text{ avec }a\in \mathbb{Q},b\in \mathbb{Q}\text{ et }c\in \mathbb{N}$$
Soit $A=\dfrac{2}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}$

Alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$$$\begin{array}{rcl}A& =& {\displaystyle \frac{2}{1-\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{2(1+\sqrt{3})+1(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{2+2\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{(1{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{1-3}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{-2}}\\ \\ & =& -{\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$$

D'où, $\boxed{A=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}}$

Soit $B=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$$$\begin{array}{rcl}B& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})+\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}+\sqrt{3}\times \sqrt{2}+\sqrt{2}\times \sqrt{3}-\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3+\sqrt{3\times 2}+\sqrt{2\times 3}-2}{3-2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{6}-2}{1}}\\ \\ & =& 1+2\sqrt{6}\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{B=1+2\sqrt{6}}$

3) Donnons une écriture simplifiée de :

$$$\begin{array}{rcl}C& =& 3\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{75}}}\times 2\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}\\ \\ & =& 3{\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{75}}}\times 2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}\\ \\ & =& 3{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{25\times 3}}}\times 2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{25}\times \sqrt{3}}}\times \sqrt{3}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$$

Donc, $\boxed{C=\dfrac{3}{5}}$

$$$\begin{array}{rcl}D& =& \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2}+4\\ \\ & =& \left|{\displaystyle \frac{3}{2}}\right|+4\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}+4\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3+8}{2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{11}{2}}\end{array}$$$

Alors, $\boxed{D=\dfrac{11}{2}}$

$$$\begin{array}{rcl}E& =& (1-\sqrt{2})(5\sqrt{2}+3)+(1-\sqrt{2}{)}^2\\ \\ & =& (1-\sqrt{2})[(5\sqrt{2}+3)+(1-\sqrt{2})]\\ \\ & =& (1-\sqrt{2})(5\sqrt{2}+3+1-\sqrt{2})\\ \\ & =& (1-\sqrt{2})(4+4\sqrt{2})\\ \\ & =& (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})\times 4\\ \\ & =& ((1{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2)\times 4\\ \\ & =& (1-2)\times 4\\ \\ & =& (-1)\times 4\\ \\ & =& -4\end{array}$$$

Donc, $\boxed{E=-4}$

$$$\begin{array}{rcl}F& =& \sqrt{{\displaystyle \frac{1.6\times 2.5}{0.36}}}\\ \\ & =& \sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{16}{10}}\times {\displaystyle \frac{25}{10}}}{{\displaystyle \frac{36}{100}}}}}\\ \\ & =& \sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{16\times 25}{100}}}{{\displaystyle \frac{36}{100}}}}}\\ \\ & =& \sqrt{{\displaystyle \frac{16\times 25}{100}}\times {\displaystyle \frac{100}{36}}}\\ \\ & =& \sqrt{{\displaystyle \frac{16\times 25}{36}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{16\times 25}}{\sqrt{36}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{16}\times \sqrt{25}}{6}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{4\times 5}{6}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{20}{6}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{F=\dfrac{10}{3}}$

4) Écrivons sans le grand radical.

Soit $F=\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}=\left|1-\sqrt{5}\right|$

Alors, cherchons le signe de $(1-\sqrt{5}).$

Pour cela, comparons $1\ $ et $\ \sqrt{5}.$

On a : $1>0\ $ et $\ \sqrt{5}>0$

Alors, $1^{2}=1\ $ et $\ (\sqrt{5})^{2}=5$

Or, $5>1$ donc, $\sqrt{5}>1$

D'où, $(1-\sqrt{5})<0$

Par conséquent,

$$$\begin{array}{rcl}|1-\sqrt{5}|& =& -(1-\sqrt{5})\\ \\ & =& -1+\sqrt{5}\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{F=\sqrt{5}-1}$

Soit $G=\sqrt{(-5-\sqrt{3})^{2}}=|-5-\sqrt{3}|$

Or, on sait que $(-5-\sqrt{3})$ est négatif.

Donc,

$$$\begin{array}{rcl}|(-5-\sqrt{3})|& =& -(-5-\sqrt{3})\\ \\ & =& (5+\sqrt{3})\end{array}$$$

D'où, $\boxed{G=5+\sqrt{3}}$

Soit $H=\sqrt{(5-2\sqrt{3})^{2}}=\left|5-2\sqrt{3}\right|$

Cherchons alors le signe de $(5-2\sqrt{3})$

Pour cela, comparons $5\ $ et $\ 2\sqrt{3}.$

On a : $5>0\ $ et $\ 2\sqrt{3}>0$

Alors, $5^{2}=25\ $ et $\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Comme, $25$ est plus grand que $12$ alors, $5>2\sqrt{3}$

D'où, $(5-2\sqrt{3})>0$

Par conséquent, $\left|5-2\sqrt{3}\right|=5-2\sqrt{3}$

Ainsi, $\boxed{H=5-2\sqrt{3}}$

Soit : $I=\sqrt{(-2\sqrt{3}+4)^{2}}=\left|-2\sqrt{3}+4\right|$

Alors, cherchons le signe de $(4-2\sqrt{3})$

Pour cela, comparons $4\ $ et $\ 2\sqrt{3}.$

On a : $4>0\ $ et $\ 2\sqrt{3}>0$

Alors, $4^{2}=16\ $ et $\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Or, $16$ est plus grand que $12$ donc, $4>2\sqrt{3}$

D'où, $(4-2\sqrt{3})>0$

Par conséquent, $\left|-2\sqrt{3}+4\right|=-2\sqrt{3}+4$

Ainsi, $\boxed{I=4-2\sqrt{3}}$

Soit $J=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}}=\left|\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right|$

Cherchons alors le signe de $\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)$

Pour cela, comparons $\dfrac{3}{2}\ $ et $\ 2\sqrt{2}.$

On a : $\dfrac{3}{2}>0\ $ et $\ 2\sqrt{2}>0$

Alors, $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}\ $ et $\ (2\sqrt{2})^{2}=8$

Or, on sait que $\dfrac{9}{4}$ est plus petit que $8$ donc, $\dfrac{3}{2}<2\sqrt{2}$

D'où, $\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)<0$

Par conséquent,

$$$\begin{array}{rcl}|{\displaystyle \frac{3}{2}}-2\sqrt{2}|& =& -({\displaystyle \frac{3}{2}}-2\sqrt{2})\\ \\ & =& (-{\displaystyle \frac{3}{2}}+2\sqrt{2})\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{J=2\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}}$