Corrigé Exercice 9 : Racine carrée 3e

 

1) Écrivons $A=\sqrt{121}-2\sqrt{112}+\sqrt{63}-\sqrt{81}$  sous la forme $$p+q\sqrt{c}\quad(p\in\mathbb{Z}\;,\ q\in\mathbb{Z}\;,\ c\in\mathbb{N})$$

On sait que :

$121=11^{2}$

$81=9^{2}$

$112=16\times 7$

$63=9\times 7$

Donc, en remplaçant dans l'expression de $A$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{121}-2\sqrt{112}+\sqrt{63}-\sqrt{81}\\\\&=&\sqrt{11^{2}}-2\sqrt{16\times 7}+\sqrt{9\times 7}-\sqrt{9^{2}}\\\\&=&11-2\sqrt{16}\times\sqrt{7}+\sqrt{9}\times\sqrt{7}-9\\\\&=&11-2\times 4\times\sqrt{7}+3\times\sqrt{7}-9\\\\&=&11-9-8\sqrt{7}+3\sqrt{7}\\\\&=&2-5\sqrt{7}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=2-5\sqrt{7}}$

2) Soit l'expression $B(x)=x^{2}-1+(x+7)(2-2x).$

a) Développons, réduisons puis ordonnons $B(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&x^{2}-1+(x+7)(2-2x)\\\\&=&x^{2}-1+x(2-2x)+7(2-2x)\\\\&=&x^{2}-1+2x-2x^{2}+14-14x\\\\&=&x^{2}-2x^{2}+2x-14x-1+14\\\\&=&-x^{2}-12x+13\end{array}$

Alors, $\boxed{B=-x^{2}-12x+13}$

b) Factorisons $B(x).$

En effet, la propriété des identités remarquables, on a :
$$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$$
De plus, on peut écrire : $(2-2x)=2(1-x)$

Alors, en remplaçant ces égalités dans l'expression de $B$, on trouve :

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&x^{2}-1+(x-7)(2-2x)\\\\&=&(x-1)(x+1)+2(x-7)(1-x)\\\\&=&(1-x)[(x+1)+2(x-7)]\\\\&=&(1-x)(x+1+2x-14)\\\\&=&(1-x)(3x-13)\end{array}$

D'où, $\boxed{B=(1-x)(3x-13)}$

3) Soit l'expression $q(x)=\dfrac{B(x)}{(x-1)(x+7)}$

a) Établissons la condition d'existence de $q(x)$ et la Simplifions.

On sait que le dénominateur d'un quotient doit être toujours différent de zéro $(0).$

Donc, $q(x)$ existe si, et seulement si, son dénominateur est différent de $0.$

Ce qui signifie que : $(x-1)(x+7)\neq 0$

Or, on a :

$\begin{array}{rcl} (x-1)(x+7)=0&\Leftrightarrow&x-1=0\ \text{ ou }\ x+7=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=-7\end{array}$

Ainsi, pour que le dénominateur soit non nul, il faut que $x\neq 1\ $ et $\ x\neq -7$

Par conséquent, $x$ différent de $1$ et de $-7$ est la condition d'existence de $q(x)$

$-\ $ Simplifions $q(x)$

On a : $q(x)=\dfrac{B(x)}{(x-1)(x+7)}$

Donc, remplaçons $B(x)$ par sa forme factorisée.

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{B(x)}{(x-1)(x+7)}\\\\&=&\dfrac{(1-x)(3x-13)}{(x-1)(x+7)}\\\\&=&\dfrac{-(x-1)(3x-13)}{(x-1)(x+7)}\\\\&=&\dfrac{-(3x-13)}{x+7}\\\\&=&-\dfrac{3x-13}{x+7}\end{array}$

D'où, $\boxed{q(x)=-\dfrac{3x-13}{x+7}}$

b) Calculons $q(\sqrt{2})$ (sans radicale au dénominateur).

Pour cela, on utilise l'expression simplifiée de $q(x)$ pour calculer $q(\sqrt{2})$ puis de rendre rationnel le dénominateur.

On a :

$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{2})&=&-\dfrac{3\sqrt{2}-13}{\sqrt{2}+7}\\\\&=&-\dfrac{(3\sqrt{2}-13)(\sqrt{2}-7)}{(\sqrt{2}+7)(\sqrt{2}-7)}\\\\&=&-\dfrac{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}-7\times 3\sqrt{2}-13\sqrt{2}+7\times 13}{(\sqrt{2})^{2}-(7)^{2}}\\\\&=&-\dfrac{3\times 2-21\sqrt{2}-13\sqrt{2}+91}{2-49}\\\\&=&-\dfrac{6-34\sqrt{2}+91}{-47}\\\\&=&\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{q(\sqrt{2})=\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}}$

c) Donnons un encadrement de $q(\sqrt{2})$ d'amplitude $0.1$ prés sachant que $1.41<\sqrt{2}<1.42$

On a : $1.41<\sqrt{2}<1.42$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $-34$ tout en sachant que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie par un même nombre négatif.

On obtient :
$$-34\times 1.41>-34\sqrt{2}>-34\times 1.42$$
Ce qui donne : $-47.94>-34\sqrt{2}>-48.28$

En ajoutant $97$ à chaque membre, on obtient :
$$97-47.94>97-34\sqrt{2}>97-48.28$$
C'est-à-dire ; $49.06>97-34\sqrt{2}>48.72$

On divise chaque membre de l'inégalité par le même nombre $47.$

On trouve alors :
$$\dfrac{49.06}{47}>\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}>\dfrac{48.72}{47}$$
Ce qui donne : $1.04>\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}>1.03$

Ou encore : $1.03<\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}<1.04$

D'où, un encadrement de $q(\sqrt{2})$ d'amplitude $0.1$ prés est donné par :
$$\boxed{1.0<\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}<1.1}$$