Corrigé Exercice 13 : Racine carrée 3e

 

On donne : $a=\sqrt{10}-3\ $ et $\ b=\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}$

1) Calculons $a^{2}$ puis rendons rationnel le dénominateur de $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(\sqrt{10}-3)^{2}\\\\&=&(\sqrt{10})^{2}-2\times 3\times\sqrt{10}+(3)^{2}\\\\&=&10-6\sqrt{10}+9\\\\&=&19-6\sqrt{10}\end{array}$

Donc, $\boxed{a^{2}=19-6\sqrt{10}}$

Rendons rationnel le dénominateur de $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}$

On a :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}&=&\dfrac{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}-3)}{(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{10}-3)^{2}}{(\sqrt{10})^{2}-(3)^{2}}\\\\&=&\dfrac{19-6\sqrt{10}}{10-9}\\\\&=&\dfrac{19-6\sqrt{10}}{1}\\\\&=&19-6\sqrt{10}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=19-6\sqrt{10}}$

On peut remarquer que $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=a^{2}$

2) Simplifions l'écriture de $b$.

Soit $b=\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}$

Comme $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=a^{2}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}&=&\sqrt{a^{2}}\\\\&=&|a|\end{array}$

Donc, $\boxed{b=|a|}$

Déterminons alors le signe de $a=\sqrt{10}-3$

Pour cela, comparons $\sqrt{10}\ $ et $\ 3$

On a : $\sqrt{10}>0\ $ et $\ 3>0$

Alors, $(\sqrt{10})^{2}=10\ $ et $\ (3)^{2}=9$

Comme $10$ est plus grand que $9$ alors, $\sqrt{10}>3$

D'où, $\sqrt{10}-3>0$

Ce qui signifie que $a$ est positif.

Par suite, $|a|=a=\sqrt{10}-3$

Or, $b=|a|$

Par conséquent, $\boxed{b=\sqrt{10}-3}$

3) Sachant que $3.162<\sqrt{10}<3.163$ ; donnons un encadrement de $3-\sqrt{10}$ au dixième près.

On a : $3.162<\sqrt{10}<3.163$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :

$-3.162>-\sqrt{10}>-3.163$

Ensuite, en ajoutant $3$ à chaque membre, on trouve :

$3-3.162>3-\sqrt{10}>3-3.163$

Ce qui donne : $-0.162>3-\sqrt{10}>-0.163$

Ce qui s'écrit encore : $-0.163<3-\sqrt{10}<-0.162$

D'où, un encadrement de $3-\sqrt{10}$ au dixième prés est donné par :
$$\boxed{-0.2<3-\sqrt{10}<-0.1}$$