Corrigé Exercice 13 : Racine carrée 3e
Exercice 13
1) Calculons $a^{2}$ puis rendons rationnel le dénominateur de $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}$
On a :
$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(\sqrt{10}-3)^{2}\\\\&=&(\sqrt{10})^{2}-2\times 3\times\sqrt{10}+(3)^{2}\\\\&=&10-6\sqrt{10}+9\\\\&=&19-6\sqrt{10}\end{array}$
Donc, $\boxed{a^{2}=19-6\sqrt{10}}$
Rendons rationnel le dénominateur de $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}$
On a :
$\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}&=&\dfrac{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}-3)}{(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{10}-3)^{2}}{(\sqrt{10})^{2}-(3)^{2}}\\\\&=&\dfrac{19-6\sqrt{10}}{10-9}\\\\&=&\dfrac{19-6\sqrt{10}}{1}\\\\&=&19-6\sqrt{10}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=19-6\sqrt{10}}$
On peut remarquer que $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=a^{2}$
2) Simplifions l'écriture de $b$.
Soit $b=\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}$
Comme $\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=a^{2}$ alors, on a :
$\begin{array}{rcl} \sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}&=&\sqrt{a^{2}}\\\\&=&|a|\end{array}$
Donc, $\boxed{b=|a|}$
Déterminons alors le signe de $a=\sqrt{10}-3$
Pour cela, comparons $\sqrt{10}\ $ et $\ 3$
On a : $\sqrt{10}>0\ $ et $\ 3>0$
Alors, $(\sqrt{10})^{2}=10\ $ et $\ (3)^{2}=9$
Comme $10$ est plus grand que $9$ alors, $\sqrt{10}>3$
D'où, $\sqrt{10}-3>0$
Ce qui signifie que $a$ est positif.
Par suite, $|a|=a=\sqrt{10}-3$
Or, $b=|a|$
Par conséquent, $\boxed{b=\sqrt{10}-3}$
3) Sachant que $3.162<\sqrt{10}<3.163$ ; donnons un encadrement de $3-\sqrt{10}$ au dixième près.
On a : $3.162<\sqrt{10}<3.163$
Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $-1$ en changeant le sens des inégalités.
On obtient :
$-3.162>-\sqrt{10}>-3.163$
Ensuite, en ajoutant $3$ à chaque membre, on trouve :
$3-3.162>3-\sqrt{10}>3-3.163$
Ce qui donne : $-0.162>3-\sqrt{10}>-0.163$
Ce qui s'écrit encore : $-0.163<3-\sqrt{10}<-0.162$
D'où, un encadrement de $3-\sqrt{10}$ au dixième prés est donné par :
$$\boxed{-0.2<3-\sqrt{10}<-0.1}$$
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