Corrigé Exercice 15 : Racine carrée 3e

Soit $A=-\sqrt{49}3+\sqrt{12}-\sqrt{(-5)^{2}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} A&=&-\sqrt{49}3+\sqrt{12}-\sqrt{(-5)^{2}}\\\\&=&-\sqrt{49}\times 3+\sqrt{4\times 3}-|-5|\\\\&=&-7\times 3+\sqrt{4}\times\sqrt{3}-5\\\\&=&-21+2\sqrt{3}-5\\\\&=&-26+2\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=-26+2\sqrt{2}}$

Soit $B=\sqrt{12}+\sqrt{32}-\sqrt{144}-\sqrt{2}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B&=&\sqrt{12}+\sqrt{32}-\sqrt{144}-\sqrt{2}\\\\&=&\sqrt{4\times 3}+\sqrt{16\times 2}-12-\sqrt{2}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}+\sqrt{16}\times\sqrt{2}-12-\sqrt{2}\\\\&=&2\sqrt{3}+4\sqrt{2}-12-\sqrt{2}\\\\&=&-12+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=-12+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$

Soit $C=3\sqrt{a^{4}}+a\sqrt{a^{2}}-5a^{2}$ avec $a\in\mathbb{R}^{-}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} C&=&3\sqrt{a^{4}}+a\sqrt{a^{2}}-5a^{2}\\\\&=&3\sqrt{a^{2}\times a^{2}}+a\times|a|-5a^{2}\\\\&=&3\sqrt{a^{2}}\times\sqrt{a^{2}}+a\times|a|-5a^{2}\\\\&=&3\times|a|\times|a|+a\times|a|-5a^{2}\end{array}$

Comme $a$ est un nombre négatif alors, $|a|=-a$

Donc, en remplaçant $|a|$ par $-a$, on trouve :

$\begin{array}{rcl} C&=&3\times|a|\times|a|+a\times|a|-5a^{2}\\\\&=&3\times(-a)\times(-a)+a\times(-a)-5a^{2}\\\\&=&3a^{2}-a^{2}-5a^{2}\\\\&=&-3a^{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{C=-3a^{2}}$

2) Comparons les réels
$$-2\sqrt{5}\ \text{ et }\ -3\sqrt{5}$$
On remarque les nombres réels $-2\sqrt{5}\ $ et $\ -3\sqrt{5}$ sont tous les deux négatifs.

Donc, le plus grand est celui avec le plus petit carré.

On a : $(-2\sqrt{5})^{2}=20\ $ et $\ (-3\sqrt{5})^{2}=45$

Comme $20$ est plus petit que $45$ alors, $-2\sqrt{5}>-3\sqrt{5}$
$$3-2\sqrt{2}\ \text{ et }\ -1+\sqrt{2}$$
En faisant la différence entre ces deux nombres, on trouve :

$\begin{array}{rcl} (3-2\sqrt{2})-(-1+\sqrt{2})&=&3-2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}\\\\&=&4-3\sqrt{2}\end{array}$

Donc, cette différence est égale à $4-3\sqrt{2}.$

Cherchons alors le signe de $4-3\sqrt{2}.$

On a : $4>0\ $ et $\ 3\sqrt{2}>0$

Alors, $(4)^{2}=16\ $ et $\ (3\sqrt{2})^{2}=18$

Comme $16$ est plus petit que $18$ alors, $4<3\sqrt{2}.$

D'où, $4-3\sqrt{2}<0$

Ce qui signifie que la différence $(3-2\sqrt{2})-(-1+\sqrt{2})$ est négative.

Par conséquent, $(3-2\sqrt{2})$ est inférieur à $(-1+\sqrt{2})$
$$\sqrt{5-2\sqrt{3}}\ \text{ et }\ \sqrt{3-\sqrt{3}}$$
Ces deux nombres sont positifs donc, comparons leur carré.

On a : $\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}=5-2\sqrt{3}\ $ et $\ \left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}=3-\sqrt{3}$

Alors, en faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}&=&(5-2\sqrt{3})-(3-\sqrt{3})\\\\&=&5-2\sqrt{3}-3+\sqrt{3}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

Donc, cette différence est égale à $2-\sqrt{3}.$

Cherchons alors le signe de $2-\sqrt{3}.$

On a : $2>0\ $ et $\ \sqrt{3}>0$

Alors, $(2)^{2}=4\ $ et $\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme $4$ est plus grand que $3$ alors, $2>\sqrt{3}.$

D'où, $2-\sqrt{3}>0$

Ce qui signifie que la différence $\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}$ est positive.

Ainsi, $\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}$ est plus grand que $\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}$

Par conséquent, $\sqrt{5-2\sqrt{3}}>\sqrt{3-\sqrt{3}}$