Corrigé Exercice 16 : Racine carrée 3e

 

1) On donne $a=2+\sqrt{5}\ $ et $\ b=2-\sqrt{5}.$ Calculons $a^{2}\ $ et $\ b^{2}$ puis en déduisons une écriture simplifiée de $A=\sqrt{9+4\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(2+\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(2)^{2}+2\times 2\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&4+4\sqrt{5}+5\\\\&=&9+4\sqrt{5}\end{array}$

Donc, $\boxed{a^{2}=9+4\sqrt{5}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&(2-\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(2)^{2}-2\times 2\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&4-4\sqrt{5}+5\\\\&=&9-4\sqrt{5}\end{array}$

Donc, $\boxed{b^{2}=9-4\sqrt{5}}$

Simplifions l'écriture de $A=\sqrt{9+4\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}.$

Comme $9+4\sqrt{5}=a^{2}\ $ et $9-4\sqrt{5}=b^{2}$ alors, $A$ peut encore s'écrire :

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}\\\\&=&|a|+|b|\end{array}$

Cherchons alors le signe de $a\ $ et $\ b$

Soit $a=2+\sqrt{5}>0$ donc, $|a|=a$

Soit $b=2-\sqrt{5}$

On a : $2>0\ $ et $\ \sqrt{5}>0$

Alors, $(2)^{2}=4\ $ et $\ (\sqrt{5})^{2}=5$

Comme $4$ est plus petit que $5$ alors, $2<\sqrt{5}.$

D'où, $2-\sqrt{5}<0$

C'est-à-dire ; $b$ est négatif.

Par conséquent, $|b|=-b$

Donc,

$\begin{array}{rcl} A&=&|a|+|b|\\\\&=&a-b\\\\&=&(2+\sqrt{5})-(2-\sqrt{5})\\\\&=&2+\sqrt{5}-2+\sqrt{5}\\\\&=&2\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=2\sqrt{5}}$

2) On donne : $X=\sqrt{3+2\sqrt{2}}\ $ et $\ Y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

a) Calculons $X.Y$

On a :

$\begin{array}{rcl} X\times Y&=&\sqrt{3+2\sqrt{2}}\times \sqrt{3-2\sqrt{2}}\\\\&=&\sqrt{(3+2\sqrt{2})\times(3-2\sqrt{2})}\\\\&=&\sqrt{(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\sqrt{9-8}\\\\&=&\sqrt{1}\\\\&=&1\end{array}$

Donc, $\boxed{X\times Y=1}$

On peut alors dire que $X\ $ et $\ Y$ sont des inverses.

b) On pose $M=X-Y$ ; calculons $M^{2}$ puis en déduisons que $M=2.$

On a :

$\begin{array}{rcl} M^{2}&=&(X-Y)^{2}\\\\&=&X^{2}-2\times X\times Y+Y^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}-2\times 1+\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}\\\\&=&3+2\sqrt{2}-2+3-2\sqrt{2}\\\\&=&3+2\sqrt{2}-2+3-2\sqrt{2}\\\\&=&4\end{array}$

Donc, $\boxed{M^{2}=4}$

En déduisons que $M=2.$

On a : $M^{2}=4$

Alors, $\sqrt{M^{2}}=\sqrt{4}=2$

Or, $\sqrt{M^{2}}=|M|$ donc, $|M|=2$

Cherchons alors le signe de $M.$

On a : $M=X-Y=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Donc, comparons $\sqrt{3+2\sqrt{2}}\ $ et $\ \sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Ces deux nombres étant positifs alors, on a :

$\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}=3+2\sqrt{2}$

$\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}=3-2\sqrt{2}$

En faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}-\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}&=&3+2\sqrt{2}-(3-2\sqrt{2})\\\\&=&3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}\\\\&=&4\sqrt{2}\end{array}$

Donc, la différence $4\sqrt{2}$ est positive.

Ce qui signifie que $\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}$ est supérieur à $\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}$

Ainsi, $X$ est plus grand que $Y.$

Par suite, $M>0$

D'où, $|M|=M$

Or, on a $|M|=2$

Par conséquent, $\boxed{M=2}$