Corrigé Exercice 21 : Racine carrée 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 21

Soit A=√2−3  et  B=5√2−1√2+1

1) Calculons A2 puis rendons rationnel le dénominateur de B.

On a :

A2=(√2−3)2=(√2)2−2×3×√2+(3)2=2−6√2+9=11−6√2

Donc, A2=11−6√2

Pour rendre rationnel le dénominateur de B, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre √2−1.

Alors, on a :

B=5√2−1√2+1=(5√2−1)(√2−1)(√2+1)(√2−1)=5√2×√2−5√2−√2+1(√2)2−(1)2=5×2−6√2+12−1=10−6√2+11=11−6√2+1

Ainsi, B=11−6√2

2) En déduisons une écriture simplifiée de √B.

D'après le résultat de la question 1), on constate B est égal à A2.

Donc, √B=√A2=|A|

Cherchons le signe de A en comparant √2  et  3.

Comme √2  et  3 sont tous les deux positifs alors, comparons leur carré.

On a : (√2)2=2  et  32=9

Or, 2 est plus petit que 9 donc, √2<3

Ce qui entraine : √2−6<0.

Ce qui signifie que : A est négatif.

Ainsi, |A|=−A

Donc,

√B=|A|=−A=−(√2−3)=−√2+3

D'où, √B=3−√2

Résolvons dans R, l'équation :
(√2+1)x2−5√2+1=0
On a :

(√2+1)x2−5√2+1=0⇔(√2+1)x2=−(−5√2+1)⇔(√2+1)x2=5√2−1⇔x2=5√2−1√2+1⇔x2=B⇔√x2=√B⇔|x|=√B⇔x=√B  ou bien  x=−√B⇔x=3−√2  ou bien  x=−(3−√2)⇔x=3−√2  ou bien  x=−3+√2

D'où, S={3−√2; −3+√2}

 

Auteur: 
Diny Faye

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