Corrigé Exercice 23 : Racine carrée 3e

 

On donne :  $P=2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ $ et $\ Q=\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}$

1) Montrons que $P\ $ et $\ Q$ sont des opposés.

Pour cela, on vérifie que la somme $P+Q$ est égale à zéro $(0).$ Ce qui signifie que $P=-Q.$

D'abord, rendons rationnel le dénominateur de $Q.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} Q&=&\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(3\sqrt{2})^{2}-(4)^{2}}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(9\times 2)-(16)}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{18-16}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{2}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{4}{2}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2\end{array}$

Donc, $\boxed{Q=-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$

Ensuite, calculons la somme $P+Q.$

On obtient :

$\begin{array}{rcl} P+Q&=&2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\\\&=&2-2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\\\&=&0\end{array}$

Ainsi, $\boxed{P+Q=0}$

On constate alors que la somme $P+Q$ est égale à $0.$ Ce qui montre que $P\ $ et $\ Q$ sont des opposés.

2) Sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415$. Encadrons à $10^{-2}$ près $P\ $ et $\ Q$

$-\ $ Encadrement de $Q$

On sait que : $1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $3.$

On obtient :
$$3\times 1.414<3\sqrt{2}<3\times 1.415$$
Ce qui donne : $4.242<3\sqrt{2}<4.245$

On divise ensuite chaque membre de l'inégalité par le même nombre $2.$

On trouve alors :
$$\dfrac{4.242}{2}<\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<\dfrac{4.245}{2}$$
Ce qui est égal à : $2.121<\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<2.122$

En ajoutant le nombre $-2$ à chaque membre de cette dernière inégalité, on obtient :
$$-2+2.121<-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<-2+2.122$$
C'est-à-dire ; $0.121<-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<0.122$

D'où, un encadrement de $Q$ à $10^{-2}$ prés est donné par :
$$\boxed{0.12<Q<0.13}$$
$-\ $ Encadrement de $P$

Comme $P\ $ et $\ Q$ sont des opposés alors, on a : $P=-Q.$

Donc, pour obtenir un encadrement de $P$, il suffit de multiplier chaque membre de l'encadrement de $Q$ par $-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient alors :
$$-1\times 0.12>-1\times\left(-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)>-1\times 0.13$$
Ce qui donne : $-0.12>2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}>-0.13$

Ce qui peut encore s'écrire : $-0.13<2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<-0.12$

D'où, un encadrement de $P$ à $10^{-2}$ prés est donné par :
$$\boxed{-0.13<P<-0.12}$$
3) On donne : $3.316<\sqrt{11}<3.317$ encadrons à $10^{-1}$ près $\dfrac{a}{b}$ sachant que $a=2\sqrt{11}-6\ $ et $\ b=2\sqrt{11}+6$

Déterminons d'abord l'expression de $\dfrac{a}{b}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{a}{b}&=&\dfrac{2\sqrt{11}-6}{2\sqrt{11}+6}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{11}-3)}{2(\sqrt{11}+3)}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{11}-3}{\sqrt{11}+3}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}-3)}{(\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}-3)}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{11}-3)^{2}}{(\sqrt{11})^{2}-(3)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{11})^{2}-2\times 3\times\sqrt{11}+(3)^{2}}{11-9}\\\\&=&\dfrac{11-6\sqrt{11}+9}{2}\\\\&=&\dfrac{20-6\sqrt{11}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(10-3\sqrt{11})}{2}\\\\&=&10-3\sqrt{11}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\dfrac{a}{b}=10-3\sqrt{11}}$

Donnons ensuite un encadrement de $(10-3\sqrt{11})$ à $10^{-1}$ près

On sait que : $3.316<\sqrt{11}<3.317$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $-3$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :
$$-3\times 3.316>-3\sqrt{11}>-3\times 3.317$$
Ce qui donne : $-9.948>-3\sqrt{11}>-9.951$

On divise ensuite chaque membre de l'inégalité par le même nombre $2.$

En ajoutant le nombre $10$ à chaque membre de cette dernière inégalité, on obtient :
$$10-9.948>10-3\sqrt{11}>10-9.951$$
C'est-à-dire ; $0.052>10-3\sqrt{11}>0.049$

Ce qui peut encore s'écrire : $0.049<10-3\sqrt{11}<0.052$

D'où, un encadrement de $\dfrac{a}{b}$ à $10^{-1}$ prés est donné par :
$$\boxed{0<\dfrac{a}{b}<0.1}$$