Corrigé Exercice 24 : Racine carrée 3e

 

On donne : $a=\sqrt{28+16\sqrt{3}}\ $ et $\ b=\sqrt{28-16\sqrt{3}}$

1) Montrons que $a\times b=4$

Pour cela, calculons le produit $a\times b.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a\times b&=&\sqrt{28+16\sqrt{3}}\times\sqrt{28-16\sqrt{3}}\\\\&=&\sqrt{(28+16\sqrt{3})\times(28-16\sqrt{3})}\\\\&=&\sqrt{(28)^{2}-(16\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(784)-(16^{2}\times\sqrt{3}^{2})}\\\\&=&\sqrt{(784)-(256\times 3)}\\\\&=&\sqrt{784-768}\\\\&=&\sqrt{16}\\\\&=&4\end{array}$

D'où, $\boxed{a\times b=4}$

2) On pose $u= a+b\ $ et $\ v=a-b$. Calculons $u^{2}\ $ et $\ v^{2}$ puis en déduisons $u\ $ et $\ v.$

Soit $u=a+b$ alors, $u^{2}=(a+b)^{2}.$

Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} u^{2}&=&(a+b)^{2}\\\\&=&a^{2}+2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}+2\times 4+\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}+8+28-16\sqrt{3}\\\\&=&64\end{array}$

D'où, $\boxed{u^{2}=64}$

Soit $v=a-b$ alors, $v^{2}=(a-b)^{2}.$

Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on obtient :

$\begin{array}{rcl} v^{2}&=&(a-b)^{2}\\\\&=&a^{2}-2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}-2\times 4+\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}-8+28-16\sqrt{3}\\\\&=&48\end{array}$

Ainsi, $\boxed{v^{2}=48}$

En déduisons $u\ $ et $\ v.$

On sait que : $u^{2}=64$

Alors, $\sqrt{u^{2}}=\sqrt{64}=8$

Or, $\sqrt{u^{2}}=|u|$ donc, $|u|=8$

Cherchons alors le signe de $u.$

On a : $u=a+b$, ce qui signifie que $u$ est la somme de deux nombres positifs.

Donc, $u$ est positif.

D'où, $|u|=u$

Par conséquent, $\boxed{u=8}$

Aussi, on sait que : $v^{2}=48$

Donc, $\sqrt{v^{2}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Comme, $\sqrt{v^{2}}=|v|$ alors, on a : $|v|=4\sqrt{3}$

Cherchons le signe de $v.$

On a : $v=a-b$

Donc, comparons $a\ $ et $\ b$

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$a^{2}=\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}=28+16\sqrt{3}$

$b^{2}=\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}=28-16\sqrt{3}$

En faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} a^{2}-b^{2}&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}-(28-16\sqrt{3})\\\\&=&28+16\sqrt{3}-28+16\sqrt{3}\\\\&=&32\sqrt{3}\end{array}$

On remarque alors que cette différence $32\sqrt{3}$ est positive.

Ce qui signifie que $a$ est supérieur à $b$

Ainsi, $v$ est positif

D'où, $|v|=v$

Or, $|v|=4\sqrt{3}$

Par conséquent, $\boxed{v=4\sqrt{3}}$

3) On donne $X=\dfrac{u+v}{2}\ $ et $\ Y=\dfrac{u-v}{2}.$ Trouvons $X\ $ et $\ Y$ puis montrons que $a=X\ $ et $\ b=Y.$

Soit $X=\dfrac{u+v}{2}$ alors, en remplaçant $u\ $ et $\ v$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{u+v}{2}\\\\&=&\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(4+2\sqrt{3})}{2}\\\\&=&4+2\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{X=4+2\sqrt{3}}$

On a : $Y=\dfrac{u-v}{2}$ alors, en remplaçant $u\ $ et $\ v$ par leur valeur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\dfrac{u-v}{2}\\\\&=&\dfrac{8-4\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(4-2\sqrt{3})}{2}\\\\&=&4-2\sqrt{3}\end{array}$

Donc, $\boxed{Y=4-2\sqrt{3}}$

Montrons que $a=X\ $ et $\ b=Y.$

Dans l'expression de $X$, on remplace $u$ par $a+b\ $ et $\ v$ par $a-b.$

On obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{u+v}{2}\\\\&=&\dfrac{(a+b)+(a-b)}{2}\\\\&=&\dfrac{a+b+a-b}{2}\\\\&=&\dfrac{2a}{2}\\\\&=&a\end{array}$

Donc, $\boxed{X=a}$

Dans l'expression de $Y$, remplaçons $u$ par $a+b\ $ et $\ v$ par $a-b.$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\dfrac{u-v}{2}\\\\&=&\dfrac{(a+b)-(a-b)}{2}\\\\&=&\dfrac{a+b-a+b}{2}\\\\&=&\dfrac{2b}{2}\\\\&=&a\end{array}$

D'où, $\boxed{Y=b}$

4) Donnons la valeur approchée par défaut de $b$ à $10^{-2}$ près sachant que $1.732<\sqrt{3}<1.733$

D'après le résultat de la question $3)$, on sait que : $b=Y$

Donc, $b=4-2\sqrt{3}$

Soit : $1.732<\sqrt{3}<1.733$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par $-2$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient alors :
$$-2\times 1.732>-2\sqrt{3}>-2\times 1.733$$
Ce qui donne : $-3.464>-2\sqrt{3}>-3.466$

Ajoutons $4$ à chaque membre.

On trouve alors :
$$4-3.464>4-2\sqrt{3}>4-3.466$$
C'est-à-dire ; $0.536>4-2\sqrt{3}>0.534$

Ce qui peut encore s'écrire : $0.534<4-2\sqrt{3}<0.536$

Ainsi, on obtient :
$$0.53<b<0.54$$
D'où, une valeur approchée de $b$ à $10^{-2}$ près par défaut est : $0.53$