Corrigé Exercice 25 : Racine carrée 3e

 

Soient $a\;,\ b\;,\ c$ trois réels tels que :
$$a(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-1\;,\quad  b=\sqrt{2-\sqrt{3}}\quad\text{et}\quad c=\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$
1) Calculons $a$ et rendons rationnel son dénominateur.

On sait que : $a(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-1$

Ce qui entraine alors : $\boxed{a=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$

Soit alors, $(\sqrt{3}-1)$ l'expression conjuguée du dénominateur.

Donc, pour rendre rationnel le dénominateur de $a$, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $(\sqrt{3}-1).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{3-1}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{a=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}}$

2) Écrivons $c$ sous la forme  $x+y\sqrt{3}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} c&=&\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}{(2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{6})^{2}-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{6}+(\sqrt{2})^{2}}{4}\\\\&=&\dfrac{6-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2\times 3}+2}{4}\\\\&=&\dfrac{8-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{4}\\\\&=&\dfrac{8-2\times 2\times\sqrt{3}}{4}\\\\&=&\dfrac{8-4\sqrt{3}}{4}\\\\&=&\dfrac{4(2-\sqrt{3})}{4}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

Alors, $\boxed{c=2-\sqrt{3}}$

3) a) Montrons que $a=c$ puis en déduisons une écriture simplifiée de $b.$

Soit $a=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}.$

Alors, en développant cette expression de $a$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3})^{2}-2\times 1\times\sqrt{3}+(1)^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{2}\\\\&=&\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{a=2-\sqrt{3}}$

Ce qui montre que $a=c.$

Ainsi, en observant l'expression de $b$, on remarque que : $b=\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{c}.$

Ce qui donne alors :

$\begin{array}{rcl} b&=&\sqrt{c}\\\\&=&\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}\\\\&=&\left|\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$

Pour cela, comparons $\sqrt{6}\ $ et $\ \sqrt{2}.$

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(\sqrt{6})^{2}=6\ $ et $\ (\sqrt{2})^{2}=2$

Comme $6$ est plus grand que $2$ alors, $\sqrt{6}>\sqrt{2}.$

D'où, $\sqrt{6}-\sqrt{2}>0$

Ce qui entraine alors : $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}>0.$

D'où, $\left|\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

Par conséquent, $\boxed{b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

b) Encadrons $b$ à $10^{-1}$ près sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415\ $ et $\ 2.449<\sqrt{6}<2.450$

On a : $1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par $-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient : $-1.414>-\sqrt{2}>-1.415$

Ce qui peut encore s'écrire :
$$-1.415<-\sqrt{2}<-1.414$$
Aussi, on a :
$$2.449<\sqrt{6}<2.450$$
En additionnant ces deux inégalités ; membre à membre, on obtient :
$$2.449-1.415<\sqrt{6}-\sqrt{2}<2.450-1.414$$
Ce qui donne : $1.034<\sqrt{6}-\sqrt{2}<1.036$

En divisant chaque membre de cette dernière inégalité par $2$, on trouve :
$$\dfrac{1.034}{2}<\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}<\dfrac{1.036}{2}$$
Ce qui est équivalent à : $0.517<\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}<0.518$

D'où, un encadrement de $b$ à $10^{-1}$ près est donné par :
$$\boxed{0.5<b<0.6}$$