Corrigé Exercice 27 : Racine carrée 3e

 

1) On donne : $P=\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}:\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)\times \dfrac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}.$

Montrons que $P=\dfrac{\sqrt{3}}{12}.$

En calculant l'expression de $P$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} P&=&\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1}\times\dfrac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2-3}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{-1}{4\sqrt{3}}\end{array}$

Donc, $P=-\dfrac{1}{4\sqrt{3}}$

En rendant rationnel le dénominateur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} P&=&-\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\\\\&=&-\dfrac{1\times\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\\\&=&-\dfrac{\sqrt{3}}{4\times 3}\\\\&=&-\dfrac{\sqrt{3}}{12}\end{array}$

D'où, $\boxed{P=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}}$

2) On donne : $Q=-2\sqrt{48}+3\sqrt{192}-4\sqrt{75}$

a) Écrivons $Q$ sous la forme $a\sqrt{b}\ $ ($a\in\mathbb{Z}\;;\  b\in\mathbb{N}$)

On a :

$\begin{array}{rcl} Q&=&-2\sqrt{48}+3\sqrt{192}-4\sqrt{75}\\\\&=&-2\sqrt{16\times 3}+3\sqrt{64\times 3}-4\sqrt{25\times 3}\\\\&=&-2\sqrt{16}\times\sqrt{3}+3\sqrt{64}\times\sqrt{3}-4\sqrt{25}\times\sqrt{3}\\\\&=&-2\times 4\times\sqrt{3}+3\times 8\times\sqrt{3}-4\times 5\times\sqrt{3}\\\\&=&-8\sqrt{3}+24\sqrt{3}-20\sqrt{3}\\\\&=&-4\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{Q=-4\sqrt{3}}$

b) Encadrons $Q$ par deux entiers consécutifs.

On sait que : $1.732<\sqrt{3}<1.733$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par $-4$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :
$$-4\times 1.732>-4\times\sqrt{3}>-4\times 1.733$$
Ce qui donne : $-6.928>-4\sqrt{3}>-6.932$

Ce qui peut encore s'écrire :
$$-6.932<-4\sqrt{3}<-6.928$$
D'où, un encadrement de $Q$ par deux entiers consécutifs est donné par :
$$\boxed{-7<Q<-6}$$
3) Montrons que $P\ $ et $\ Q$ sont des inverses.

Pour cela, il suffit de vérifier que $P\times Q=1.$

En calculant le produit $P\times Q=1$, on trouve :

$\begin{array}{rcl} P\times Q&=&\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{12}\right)\times(-4\sqrt{3})\\\\&=&\dfrac{4\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{12}\\\\&=&\dfrac{4\times 3}{12}\\\\&=&\dfrac{12}{12}\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi, $\boxed{P\times Q=1}$

Ce qui montre que $P\ $ et $\ Q$ sont des inverses.

4) En déduisons que $P(P-1)=\dfrac{P-1}{Q}.$

Comme $P\ $ et $\ Q$ sont des inverses alors, on a : $P\times Q=1$

Ainsi, $Q=\dfrac{1}{P}$

Donc, dans l'expression $\dfrac{P-1}{Q}$, en remplaçant $Q$ par $\dfrac{1}{P}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{P-1}{Q}&=&\dfrac{P-1}{\dfrac{1}{P}}\\\\&=&(P-1)\times\dfrac{P}{1}\\\\&=&(P-1)\times P\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{P-1}{Q}=P(P-1)}$