Corrigé Exercice 28 : Racine carrée 3e

 

1) On considère l'expression $X=\sqrt{300}+2\sqrt{3}-4\sqrt{75}.$

Écrivons $X$ sous la forme $a\sqrt{b}$ ; où $a\ $ et $\ b$ sont des entiers relatifs.

On a :

$$$\begin{array}{rcl}X& =& \sqrt{300}+2\sqrt{3}-4\sqrt{75}\\ \\ & =& \sqrt{100\times 3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{25\times 3}\\ \\ & =& \sqrt{100}\times \sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{25}\times \sqrt{3}\\ \\ & =& 10\times \sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\times 5\times \sqrt{3}\\ \\ & =& 10\sqrt{3}+2\sqrt{3}-20\sqrt{3}\\ \\ & =& -8\sqrt{3}\end{array}$$$

Alors, $\boxed{X=-8\sqrt{3}}$

2) Calculons $\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$ puis déduisons-en l'écriture de $Y=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ avec un seul radical.

On a :

$$$\begin{array}{rcl}{(2-\sqrt{3})}^2& =& (2{)}^2-2\times 2\times \sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2\\ \\ & =& 4-4\sqrt{3}+3\\ \\ & =& 7-4\sqrt{3}\end{array}$$$

D'où, $\boxed{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}=7-4\sqrt{3}}$

Par suite, dans l'expression de $Y$, en remplaçant $7-4\sqrt{3}$ par $\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$, on obtient :

$$$\begin{array}{rcl}Y& =& \sqrt{7-4\sqrt{3}}\\ \\ & =& \sqrt{{(2-\sqrt{3})}^2}\\ \\ & =& |2-\sqrt{3}|\end{array}$$$

Cherchons alors le signe de $(2-\sqrt{3}).$

Pour cela, comparons $2\ $ et $\ \sqrt{3}.$

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(2)^{2}=4\ $ et $\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme $4$ est plus grand que $3$ alors, $2>\sqrt{3}.$

D'où, $2-\sqrt{3}>0$

Ainsi, $\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}.$

Par conséquent, $\boxed{Y=2-\sqrt{3}}$