Corrigé Exercice 28 : Racine carrée 3e

 

1) On considère l'expression $X=\sqrt{300}+2\sqrt{3}-4\sqrt{75}.$

Écrivons $X$ sous la forme $a\sqrt{b}$ ; où $a\ $ et $\ b$ sont des entiers relatifs.

On a :

$\begin{array}{rcl} X&=&\sqrt{300}+2\sqrt{3}-4\sqrt{75}\\\\&=&\sqrt{100\times 3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{25\times 3}\\\\&=&\sqrt{100}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{25}\times\sqrt{3}\\\\&=&10\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\times 5\times\sqrt{3}\\\\&=&10\sqrt{3}+2\sqrt{3}-20\sqrt{3}\\\\&=&-8\sqrt{3}\end{array}$

Alors, $\boxed{X=-8\sqrt{3}}$

2) Calculons $\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$ puis déduisons-en l'écriture de $Y=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ avec un seul radical.

On a :

$\begin{array}{rcl} \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}&=&(2)^{2}-2\times 2\times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&4-4\sqrt{3}+3\\\\&=&7-4\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}=7-4\sqrt{3}}$

Par suite, dans l'expression de $Y$, en remplaçant $7-4\sqrt{3}$ par $\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\sqrt{7-4\sqrt{3}}\\\\&=&\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}\\\\&=&\left|2-\sqrt{3}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de $(2-\sqrt{3}).$

Pour cela, comparons $2\ $ et $\ \sqrt{3}.$

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(2)^{2}=4\ $ et $\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme $4$ est plus grand que $3$ alors, $2>\sqrt{3}.$

D'où, $2-\sqrt{3}>0$

Ainsi, $\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}.$

Par conséquent, $\boxed{Y=2-\sqrt{3}}$