Corrigé Exercice 30 : Racine carrée 3e

 

1) Calculons $\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}\ $ et $\ \left(1-\sqrt{5}\right)^{2}$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} \left(1+\sqrt{5}\right)^{2}&=&(1)^{2}+2\times 1\times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&1+2\sqrt{5}+5\\\\&=&6+2\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}=6+2\sqrt{5}}$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \left(1-\sqrt{5}\right)^{2}&=&(1)^{2}-2\times 1\times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&1-2\sqrt{5}+5\\\\&=&6-2\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}=6-2\sqrt{5}}$

2) On donne : $X=\sqrt{6-2\sqrt{5}}\ $ et $\ Y=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

a) Écrivons $X\ $ et $\ Y$ avec un seul radical.

Dans l'expression de $X$, en remplaçant $6-2\sqrt{5}$ par $\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}$, on trouve :

$\begin{array}{rcl} X&=&\sqrt{6-2\sqrt{5}}\\\\&=&\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}}\\\\&=&\left|1-\sqrt{5}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de $(1-\sqrt{5}).$

Pour cela, comparons $1\ $ et $\ \sqrt{5}.$

Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(1)^{2}=1\ $ et $\ (\sqrt{5})^{2}=5$

Comme $1$ est plus petit que $5$ alors, $1<\sqrt{5}.$

D'où, $1-\sqrt{5}<0$

Ainsi, $\left|1-\sqrt{5}\right|=-(1-\sqrt{5})=-1+\sqrt{5}.$

Par conséquent, $\boxed{X=-1+\sqrt{5}}$

Dans l'expression de $Y$, on remplace $6+2\sqrt{5}$ par $\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}.$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\sqrt{6+2\sqrt{5}}\\\\&=&\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}}\\\\&=&\left|1+\sqrt{5}\right|\\\\&=&1+\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{Y=1+\sqrt{5}}$

b) Calculons $X+Y\ $ et $\ X-Y.$

En remplaçant $X\ $ et $\ Y$ par leur expression du résultat de $2)\,a)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} X+Y&=&(-1+\sqrt{5})+(1+\sqrt{5})\\\\&=&-1+\sqrt{5}+1+\sqrt{5}\\\\&=&2\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{X+Y=2\sqrt{5}}$

$\begin{array}{rcl} X-Y&=&(-1+\sqrt{5})-(1+\sqrt{5})\\\\&=&-1+\sqrt{5}-1-\sqrt{5}\\\\&=&-2\end{array}$

Donc, $\boxed{X-Y=-2}$