Corrigé Exercice 32 : Racine carrée 3e

 

On considère l'expression ci-dessous :
$$H(x)=4\left(x+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}\left(x+\sqrt{3}\right)+3$$
1) Développons, réduisons et ordonnons $H(x).$

Soit alors :

$\begin{array}{rcl} H(x)&=&4\left(x+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}\left(x+\sqrt{3}\right)+3\\\\&=&4\left(x^{2}+2\times\sqrt{3}\times x+(\sqrt{3})^{2}\right)-4\sqrt{3}\times x-4\sqrt{3}\times\sqrt{3}+3\\\\&=&4\left(x^{2}+2\sqrt{3}x+3\right)-4\sqrt{3}x-4\times 3+3\\\\&=&4x^{2}+8\sqrt{3}x+12-4\sqrt{3}x-12+3\\\\&=&4x^{2}+4\sqrt{3}x+3\end{array}$

Ainsi, $\boxed{H(x)=4x^{2}+4\sqrt{3}x+3}$

2) Déduisons-en une factorisation de $H(x).$

D'après le résultat de la question $1)\;,\ H(x)$ est de la forme : $a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ; $a=2x\ $ et $\ b=\sqrt{3}.$

Or, on sait que :
$$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$$
Donc, en utilisant cette propriété des identités remarquables, on a :
$$4x^{2}+4\sqrt{3}x+3=(2x+\sqrt{3})^{2}$$
D'où, $\boxed{H(x)=(2x+\sqrt{3})^{2}}$