Corrigé Exercice 33 : Racine carrée 3e

$a=\dfrac{2-\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}$

$b=3\sqrt{18}+\sqrt{128}-\sqrt{338}$

$c=\sqrt{2}-3.$

1) Rendons rationnel le dénominateur de $a.$

Soit $5-\sqrt{3}$ l'expression conjuguée du dénominateur de $a.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{2-\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(2-\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2\times 5-2\sqrt{3}-5\sqrt{3}-\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})}{(5)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{10-7\sqrt{3}+3}{25-3}\\\\&=&\dfrac{13-7\sqrt{3}}{22}\end{array}$

D'où, $\boxed{a=\dfrac{13-7\sqrt{3}}{22}}$

2) Simplifions $b.$

On a :

$18=9\times 2$

$128=64\times 2$

$338=13^{2}\times 2$

Donc, en remplaçant dans l'expression de $b$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} b&=&3\sqrt{18}+\sqrt{128}-\sqrt{338}\\\\&=&3\sqrt{9\times 2}+\sqrt{64\times 2}-\sqrt{13^{2}\times  2}\\\\&=&3\sqrt{9}\times\sqrt{2}+\sqrt{64}\times\sqrt{2}-\sqrt{13^{2}}\times\sqrt{2}\\\\&=&3\times 3\times\sqrt{2}+8\times\sqrt{2}-13\times\sqrt{2}\\\\&=&9\sqrt{2}+8\sqrt{2}-13\sqrt{2}\\\\&=&4\sqrt{2}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{b=4\sqrt{2}}$

3) Calculons $c^{2}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} c^{2}&=&\left(\sqrt{2}-3\right)^{2}\\\\&=&(\sqrt{2})^{2}-2\times 3\times \sqrt{2}+(3)^{2}\\\\&=&2-6\sqrt{2}+9\\\\&=&11-6\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{c^{2}=11-6\sqrt{2}}$

Déduisons-en que $p=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{8}}{3\sqrt{5}-6\sqrt{2}}$ est un rationnel que l'on déterminera.

On a :

$\begin{array}{rcl} p&=&\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{8}}{3\sqrt{5}-6\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{4\times 2}}{3\sqrt{5}-6\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{4}\times\sqrt{2}}{3(\sqrt{5}-2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{5}-2\sqrt{2})}{3(\sqrt{5}-2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{p=\dfrac{1}{3}\quad\text{qui est un nombre rationnel}}$