Corrigé Exercice 36 : Racine carrée 3e

 

1) Écrivons les expressions $x\ $ et $\ y$ ci-dessous sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a\ $ et $\ b$ sont des entiers positifs.

a) Soit : $x=2\sqrt{50}-3\sqrt{18}+\sqrt{200}-\sqrt{2}.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} x&=&2\sqrt{50}-3\sqrt{18}+\sqrt{200}-\sqrt{2}\\\\&=&2\sqrt{25\times 2}-3\sqrt{9\times 2}+\sqrt{100\times 2}-\sqrt{2}\\\\&=&2\sqrt{25}\times\sqrt{2}-3\sqrt{9}\times\sqrt{2}+\sqrt{100}\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\\\\&=&2\times 5\times\sqrt{2}-3\times 3\times\sqrt{2}+10\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}-9\sqrt{2}+10\sqrt{2}-\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{x=10\sqrt{2}}$

b) Soit : $y=\sqrt{20}+\sqrt{80}-\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{12}}\times\sqrt{48}.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} y&=&\sqrt{20}+\sqrt{80}-\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{12}}\times\sqrt{48}\\\\&=&\sqrt{4\times 5}+\sqrt{16\times 5}-\dfrac{\sqrt{16\times 2}}{\sqrt{4\times 3}}\times\sqrt{16\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{5}+\sqrt{16}\times\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{16}\times\sqrt{2}}{\sqrt{4}\times\sqrt{3}}\times\sqrt{16}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\times\sqrt{5}+4\times\sqrt{5}-\dfrac{4\times\sqrt{2}}{2\times\sqrt{3}}\times 4\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{5}+4\sqrt{5}-\dfrac{16\sqrt{2}}{2}\\\\&=&6\sqrt{5}-8\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{y=6\sqrt{5}-8\sqrt{2}}$

2) On donne les réels $m=1-2\sqrt{3}\ $ et $\ n=1+\sqrt{12}$

a) Sans calculer $m^{2}\ $ et $\ n^{2}$ montrons que $m+n\;,\ m\times n$ sont des entiers relatifs.

On a :

$\begin{array}{rcl} m+n&=&1-2\sqrt{3}+1+\sqrt{12}\\\\&=&2-2\sqrt{3}+\sqrt{4\times 3}\\\\&=&2-2\sqrt{3}+\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\\\\&=&2\end{array}$

Donc, $\boxed{m+n=2\quad\text{qui est un entier relatif}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} m\times n&=&(1-2\sqrt{3})(1+\sqrt{12})\\\\&=&(1-2\sqrt{3})(1+\sqrt{4}\times\sqrt{3})\\\\&=&(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})\\\\&=&(1)^{2}-(2\sqrt{3})^{2}\\\\&=&1-(4\times 3)\\\\&=&1-12\\\\&=&-11\end{array}$

D'où, $\boxed{m\times n=-11\quad\text{qui est un entier relatif}}$

b) Déduisons-en que $m^{2}+n^{2}$ est un entier relatif.

En effet, d'après la propriété des identités remarquables, on a :
$$(m+n)^{2}=m^{2}+2\times(m\times n)+n^{2}$$
Ce qui entraine : $m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2\times m\times n$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} m^{2}+n^{2}&=&(m+n)^{2}-2\times(m\times n)\\\\&=&(2)^{2}-2\times(-11)\\\\&=&4+22\\\\&=&26\end{array}$

D'où, $\boxed{m^{2}+n^{2}=26\quad\text{qui est un entier relatif}}$

3) On pose $p=\dfrac{m}{n}.$

Rendons rationnel le dénominateur de $p.$

Soit : $p=\dfrac{1-2\sqrt{3}}{1+\sqrt{12}}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} p&=&\dfrac{1-2\sqrt{3}}{1+\sqrt{12}}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})(1-\sqrt{12})}{(1+\sqrt{12})(1-\sqrt{12})}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})}{(1)^{2}-(\sqrt{12})^{2}}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{1-12}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{-11}\\\\&=&-\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{11}\end{array}$

D'où, $\boxed{p=-\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{11}}$