Corrigé Exercice 3 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

1) Calculons les sommes suivantes puis simplifions :

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{-3}\\ \\&=&\dfrac{3}{4}+\left(-\dfrac{5}{3}\right)\\ \\&=&\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{4\times 3}-\dfrac{5\times 4}{3\times 4}\\ \\&=&\dfrac{9}{12}-\dfrac{20}{12}\\ \\&=&\dfrac{9-20}{12}\\ \\&=&\dfrac{-11}{12}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=-\dfrac{11}{12}}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{-2}{7}\right)+\left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=& \dfrac{-2}{7}-\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{-2\times 2}{7\times 2}-\dfrac{3\times 7}{2\times 7}\\ \\&=&\dfrac{-4}{14}-\dfrac{21}{14}\\ \\&=& \dfrac{-4-21}{14}\\ \\&=&\dfrac{-25}{14}\end{array}$

 

Par suite, $\boxed{B=-\dfrac{25}{14}}$

 

On a : 

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-2}{13}-\dfrac{7}{13}\\ \\&=&\dfrac{-2-7}{13}\\ \\&=&\dfrac{-9}{13}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=-\dfrac{9}{13}}$

 

2) Calculons les différences suivantes puis simplifions

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 3}{4\times 3}-\dfrac{2\times 4}{3\times 4}\\ \\&=&\dfrac{9}{12}-\dfrac{8}{12}\\ \\&=&\dfrac{9-8}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{12}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=\dfrac{1}{12}}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&3-\left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=&\dfrac{3}{1}+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{3\times 2}{1\times 2}+\dfrac{3\times 1}{2\times 1}\\ \\&=&\dfrac{6}{2}+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{6+3}{2}\\ \\&=&\dfrac{9}{2}\end{array}$

 

Par suite, $\boxed{B=\dfrac{9}{2}}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-12}{15}\right)-\left(\dfrac{-7}{15}\right)\\ \\&=&\dfrac{-12}{15}+\dfrac{7}{15}\\ \\&=&\dfrac{-12+7}{15}\\ \\&=&\dfrac{-5}{15}\\ \\&=&\dfrac{-5}{3\times 5}\end{array}$

 

En simplifiant par $5$, on obtient : $\boxed{C=-\dfrac{1}{3}}$

 

3) Calculons les produits suivants (simplifions)

 

a) 

 

$\begin{array}{rcl} A&=&-3\times\dfrac{3}{4}\\ \\&=&\dfrac{-3\times 3}{4}\\ \\&=&\dfrac{-9}{4}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=-\dfrac{9}{4}}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&3\times \left(\dfrac{-3}{2}\right)\\ \\&=&\dfrac{3\times(-3)}{2}\\ \\&=&\dfrac{-9}{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B=-\dfrac{9}{2}}$

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-2}{15}\right)\times +35\\ \\&=&\dfrac{(-2)\times(+35)}{15}\\ \\&=&\dfrac{-70}{15}\\ \\&=&\dfrac{(-14)\times 5}{3\times 5}\end{array}$

 

Donc, en simplifiant par $5$, on obtient : $\boxed{C=-\dfrac{14}{3}}$

 

b) 

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{4}{3}\times -\dfrac{9}{12}\\ \\&=&\times\dfrac{-9}{12}\\ \\&=&\dfrac{4\times(-9)}{3\times 12}\\ \\&=&\dfrac{-36}{36}\\ \\&=&-1\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=-1}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{125}{14}\times\dfrac{49}{-50}\\ \\&=&\dfrac{125\times 49}{14\times(-50)}\\ \\&=&\dfrac{(5\times 25)\times(7\times 7)}{(2\times 7)\times(-2\times 25)}\\ \\&=&\dfrac{5\times 7}{2\times(-2)}\\ \\&=&\dfrac{35}{-4}\end{array}$

 

Par suite, $\boxed{B=-\dfrac{35}{4}}$

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-248}{4}\times\dfrac{16}{-21}\\ \\&=&\dfrac{-248\times 16}{4\times(-21)}\\ \\&=&\dfrac{-248\times(4\times 4)}{4\times(-21)}\\ \\&=&\dfrac{-248\times 4}{-21}\\ \\&=&\dfrac{-992}{-21}\nonumber\end{array}$

 

D'où, $\boxed{C=\dfrac{992}{21}}$

 

4) Calculons les quotients suivants (simplifions) :

 

a)

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{-7}{5}\div 3\\ \\&=&\dfrac{-7}{5}\times\dfrac{1}{3}\\ \\&=&\dfrac{-7}{15}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=-\dfrac{7}{15}}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{4}{6}\div-12\\ \\&=&\dfrac{4}{6}\times\dfrac{1}{-12}\\ \\&=&\dfrac{4}{-72}\\ \\&=&\dfrac{1\times 4}{(-18)\times 4}\end{array}$

 

Ainsi, en simplifiant par 4, on obtient : $\boxed{B=-\dfrac{1}{18}}$

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(\dfrac{-2}{15}\right)\div -8\\ \\&=&\dfrac{-2}{15}\times\dfrac{1}{-8}\\ \\&=&\dfrac{-2}{-120}\\ \\&=&\dfrac{2}{120}\\ \\&=&\dfrac{1\times 2}{60\times 2}\end{array}$

 

Donc, en simplifiant par $2$, on trouve : $\boxed{C=\dfrac{1}{60}}$

 

b)

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{-4}{5}}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{-4}\\ \\&=&\dfrac{10}{-12}\\ \\&=&\dfrac{2\times 5}{2\times(-6)}\end{array}$

 

Par suite, après simplification par $2$, on obtient : $\boxed{A=-\dfrac{5}{6}}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\dfrac{5}{7}}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{7}\times\dfrac{1}{3}\\ \\&=&\dfrac{5}{21}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=\dfrac{5}{21}}$

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{-5}{\dfrac{7}{-8}}\\ \\&=&-5\times\dfrac{-8}{7}\\ \\&=&\dfrac{40}{7}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{40}{7}}$

 

$\begin{array}{rcl} D&=&-\dfrac{4}{5}\div\dfrac{+14}{25}\\ \\&=&\dfrac{-4}{15}\times\dfrac{25}{14}\\ \\&=&\dfrac{-100}{210}\\ \\&=&\dfrac{(-10)\times 10}{21\times 10}\end{array}$

 

Donc, en simplifiant par $10$, on trouve : $\boxed{D=-\dfrac{10}{21}}$

 

5) Calculons les puissances suivantes (simplifions) :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}\\ \\&=&\dfrac{2^{5}}{5^{5}}\\ \\&=&\dfrac{32}{3125}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=\dfrac{32}{3125}}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{3}\times\left(\dfrac{2}{9}\right)^{5}\\ \\&=&\dfrac{(-3)^{3}\times(2)^{5}}{2^{3}\times 9^{5}}\\ \\&=&\dfrac{(-3)^{3}\times 2^{2}}{1\times(3^{2})^{5}}\\ \\&=&\dfrac{(-1)^{3}\times(3)^{3}\times 2^{2}}{(3^{10})}\\ \\&=&\dfrac{(-1)\times 2^{2}}{3^{7}}\\ \\&=&\dfrac{-4}{2187}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=-\dfrac{4}{2187}}$

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(+\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\\ \\&=&\dfrac{1}{\left(+\dfrac{1}{2}\right)^{5}}\\ \\&=&\dfrac{1}{\dfrac{(1)^{5}}{(2)^{5}}}\\ \\&=&\dfrac{(2)^{5}}{(1)^{5}}\\ \\&=&\dfrac{32}{1}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=32}$