Corrigé Exercice 7 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Mettons les expressions suivantes sous la forme de Puissances simples.

 

Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on a :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&(2\times 3)^{-4}\times(2^{3})^{-2}\times 3^{2}\times 2^{-2}\\ \\&=& 2^{-4}\times 3^{-4}\times 2^{-6}\times 3^{2}\times 2^{-2}\\ \\&=&2^{-4}\times 2^{-6}\times 2^{-2}\times 3^{-4}\times 3^{2}\\ \\&=& 3^{-4-6-2}\times 3^{-4+2}\\ \\&=&2^{-12}\times 3^{-2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=2^{-12}\times 3^{-2}}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(7^{-3}\times 2^{4}\right)^{-2}\times(7^{3})^{-2}\times 21\times 3\\ \\&=& 7^{6}\times 2^{-8}\times 7^{-6}\times 3\times 7\times 3\\ \\&=&2^{-8}\times 7^{6-6+1}\times 3^{2}\\ \\&=&2^{-8}\times 7\times 3^{2}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{B=2^{-8}\times 7\times 3^{2}}$

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{2^{3}\times 3^{-2}\times(2^{-1})^{3}\times 3^{3}}{(3^{2})^{2}\times(2^{2}\times 3)^{+3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{3}\times 3^{-2}\times 2^{-3}\times 3^{3}}{3^{4}\times 2^{6}\times 3^{3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{3-3}\times 3^{3-2}}{3^{4+3}\times 2^{6}}\\ \\&=&\dfrac{3}{3^{7}\times 2^{6}}\\ \\&=&3\times 3^{-7}\times 2^{-6}\\ \\&=&3^{1-7}\times 2^{-6}\\ \\&=&3^{-6}\times 2^{-6}\\ \\&=&(3\times 2)^{-6}\\ \\&=&6^{-6} \end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=6^{-6}}$

 

$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{14\times 3^{-2}\times 0.5\times (2^{-1})^{-3}\times 7^{3}}{(7^{2})^{-2}\times(2^{2}\times 7)^{-3}}\\ \\&=&\dfrac{2\times 7\times 3^{-2}\times\dfrac{1}{2}\times 2^{3}\times 7^{3}}{7^{-4}\times 2^{-6}\times 7^{-3}}\\ \\&=&\dfrac{2^{1+3}\times 7^{1+3}\times 3^{-2}\times 1}{7^{-4-3}\times 2^{-6}\times 2}\\ \\&=&\dfrac{2^{4}\times 7^{4}\times 3^{-2}}{7^{-7}\times 2^{-6+1}}\\ \\&=&\dfrac{2^{4}\times 7^{4}\times 3^{-2}}{7^{-7}\times 2^{-5}}\\ \\&=&2^{4}\times 2^{5}\times 7^{4}\times 7^{7}\times 3^{-2}\\ \\&=&2^{4+5}\times 7^{4+7}\times 3^{-2}\\ \\&=&2^{9}\times 7^{11}\times 3^{-2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=2^{9}\times 7^{11}\times 3^{-2}}$