Corrigé Exercice 11 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Simplifions les expressions suivantes en utilisant les propriétés des puissances de $10.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{10^{-5}\times 10^{2}}{10^{-7}\times 10^{-4}}\\\\&=&10^{-5}\times 10^{2}\times 10^{7}\times 10^{4}\\\\&=&10^{-5+2+7+4}\\\\&=&10^{8}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=10^{8}}$

 

Soit : $B=\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{20\times(10^{2})^{5}\times 100}.$

 

En réécrivant $20\ $ et $\ 100$ sous forme de puissance de $10$, on obtient : $20=2\times 10^{1}\ $ et $\ 100=10^{2}.$

 

Alors, en remplaçant dans l'expression de $B$, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{20\times(10^{2})^{5}\times 100}\\\\&=&\dfrac{8\times 10^{5}\times 25\times 10^{-6}}{2\times 10^{1}\times 10^{2\times 5}\times 10^{2}}\\\\&=&\dfrac{8\times 25\times 10^{5}\times 10^{-6}}{2\times 10^{1}\times 10^{10}\times 10^{2}}\\\\&=&\dfrac{200\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 100\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}\times 10^{5}\times 10^{-6}\times 10^{-1}\times 10^{-10}\times 10^{-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2+5-6-1-10-2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-12}}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\times 10^{-12}\\\\&=&10^{-12}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=10^{-12}}$

 

Soit : $C=\dfrac{0.25+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}$

 

Alors, on peut écrire : $0.25=25\times 10^{-2}$

 

Ainsi, en remplaçant dans l'expression de $C$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{0.25+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{25\times 10^{-2}+0.5\times 10^{-2}-15\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{(25+0.5-15)\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2}}{5\times 10^{-3}}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2}\times 10^{3}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{-2+3}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5\times 10^{1}}{5}\\\\&=&\dfrac{10.5}{5}\times 10^{1}\\\\&=&2.1\times 10^{1}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{C=2.1\times 10^{1}}$

 

Soit : $D=\dfrac{4\times 10^{-5}\times 0.5\times 10^{7}}{10^{7}\times 2\times 10^{-9}}$

 

Alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&\dfrac{4\times 10^{-5}\times 0.5\times 10^{7}}{10^{7}\times 2\times 10^{-9}}\\\\&=&\dfrac{4\times 0.5\times 10^{-5}\times 10^{7}}{2\times 10^{7}\times 10^{-9}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{-5+7}}{2\times 10^{7-9}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}}{2\times 10^{-2}}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2}\times 10^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{2+2}}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 10^{4}}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\times 10^{4}\\\\&=&1\times 10^{4}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{D=10^{4}}$