Corrigé Exercice 13 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

On considère les nombres rationnels : $a\;,\ b\ $ et $\ c$ tels que : $a>0\;,\ b<0\ $ et $\ c>0.$

 

Écrivons les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.

 

Comme $a\ $ et $\ c$ sont positifs alors, $|a|=a\ $ et $\ |c|=c.$

 

Comme $b$ est négatif alors, $|b|=-b.$

 

Donc, dans la suite, on va remplacer la valeur absolue de ces nombre par leur valeur.

 

Soit : $A=|a|+|b|-|c|$

 

Ainsi, en remplaçant dans l'expression de $A$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&|a|+|b|-|c|\\\\&=&a-b-c\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=a-b-c}$

 

Soit : $B=|-7abc|$

 

On rappelle que si $a\ $ et $\ b$ sont deux nombres rationnels alors :

$$|ab|=|a|\times|b|$$

Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&|-7abc|\\\\&=&|-7|\times|a|\times|b|\times|c|\\\\&=&7\times a\times(-b)\times c\\\\&=&-7abc\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=-7abc}$

 

Soit : $C=\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|$

 

On rappelle que $b\ $ et $\ c$ sont deux nombres rationnels avec $c\neq 0$ alors :

$$\left|\dfrac{b}{c}\right|=\dfrac{|b|}{|c|}$$

Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\left|\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\dfrac{|b|}{|c|}\\\\&=&a\times\dfrac{-b}{c}\\\\&=&\dfrac{-ab}{c}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=-\dfrac{ab}{c}}$

 

Soit : $D=|-a+b|$

 

Or, on sait que $a$ est positif donc, $-a$ est négatif.

 

Comme $b$ est négatif alors, $-a+b$ qui est la somme de deux nombres négatifs est aussi négatif.

 

Par suite, d'après la définition de la valeur absolue, on a :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&|-a+b|\\\\&=&-(-a+b)\\\\&=&a-b\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{D=a-b}$