Corrigé Exercice 15 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Rangeons les nombres rationnels ci-dessous dans l'ordre croissant :

$$\dfrac{8}{7}\;;\quad\dfrac{5}{8}\;;\quad\dfrac{7}{8}\;;\quad\dfrac{8}{6}\;;\quad\dfrac{8}{5}\ \text{ et }\ \dfrac{6}{8}$$

En effet, on remarque que :

 

$\dfrac{8}{7}\;;\ \dfrac{8}{6}\;;\ \dfrac{8}{5}$ ont même numérateur.

 

Or, si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

 

Donc,

$$\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$

De la même manière, on constate que :

 

$\dfrac{5}{8}\;;\ \dfrac{7}{8}\;;\ \dfrac{6}{8}$ ont même dénominateur

 

Or, si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

 

Donc,

$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}$$

Par ailleurs :

 

$\dfrac{7}{8}<1$ car le numérateur $7$ est inférieur au dénominateur $8.$

 

$\dfrac{8}{7}>1$ car le numérateur $8$ est supérieur au dénominateur $7.$

 

Ainsi, on obtient :

$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<1\ \text{ et }\ 1<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$

Par suite,

$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<1<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$

D'où, un rangement de ces nombres rationnels dans l'ordre croissant est donné par :

$$\dfrac{5}{8}<\dfrac{6}{8}<\dfrac{7}{8}<\dfrac{8}{7}<\dfrac{8}{6}<\dfrac{8}{5}$$