Corrigé Exercice 16 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

On considère les nombres rationnels suivants :

$$\dfrac{64}{192}\;;\quad\dfrac{18}{84}\;;\quad +\dfrac{84}{28}\;;\quad\dfrac{7}{21}\;;\quad -\dfrac{120}{160}\;;\quad -\dfrac{-16}{-48}\ \text{ et }\ \dfrac{210}{-441}$$

1) Simplifions l'écriture de chacun des nombres rationnels ci-dessus.

 

En effet, on sait que pour simplifier une fraction, on peut utiliser le $PGCD$ du numérateur et du dénominateur.

 

Soit à simplifier $\dfrac{64}{192}$

 

En décomposant les nombres $64\ $ et $\ 192$ en un produit de facteurs premiers, on obtient : $64=1\times 2^{6}\quad$ et $\quad 192=1\times 2^{6}\times 3$

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl}  PGCD\;(64\;;\ 192)&=&1\times 2^{6}\\\\&=&64\end{array}$

 

Donc, $\boxed{PGCD\;(64\;;\ 192)=64}$

 

Comme $PGCD\;(64\;;\ 192)=64$ alors, en divisant le numérateur et le dénominateur par $64$, on obtient :

 

$\dfrac{64}{192}=\dfrac{64\div 64}{192\div 64}=\dfrac{1}{3}$

 

Ainsi, $\boxed{\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}}$

 

Soit à simplifier $\dfrac{18}{84}$

 

En décomposant les nombres $18\ $ et $\ 84$ en un produit de facteurs premiers, on obtient : $18=1\times 2\times 3^{2} \quad$ et $\quad 84=1\times 2^{2}\times 3\times 7$

 

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl}  PGCD\;(18\;;\ 84)&=&1\times 2\times 3\\\\&=&6\end{array}$

 

Donc, $\boxed{PGCD\;(18\;;\ 84)=6}$

 

Comme $PGCD\;(18\;;\ 84)=6$ alors, en divisant le numérateur et le dénominateur par $6$, on trouve :

 

$\dfrac{18}{84}=\dfrac{18\div 6}{84\div 6}=\dfrac{3}{14}$

 

D'où, $\boxed{\dfrac{18}{84}=\dfrac{3}{14}}$

 

Soit à simplifier $+\dfrac{84}{28}$

 

En décomposant les nombres $28\ $ et $\ 84$ en un produit de facteurs premiers, on obtient : $28=1\times 2^{2}\times 7\quad$ et $\quad 84=1\times 2^{2}\times 3\times 7$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl}  PGCD\;(28\;;\ 84)&=&1\times 2^{2}\times 7\\\\&=&28\end{array}$

 

Donc, $\boxed{PGCD\;(28\;;\ 84)=28}$

 

Comme $PGCD\;(28\;;\ 84)=28$ alors, on a :

 

$\dfrac{84}{28}=\dfrac{84\div 28}{28\div 28}=\dfrac{3}{1}$

 

D'où, $\boxed{\dfrac{84}{28}=3}$

 

Soit à simplifier $\dfrac{7}{21}$

 

On a : $\dfrac{7}{21}=\dfrac{7}{3\times 7}$

 

Simplifions alors par $7.$

 

Ce qui donne : $\boxed{\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}}$

 

Soit à simplifier $-\dfrac{120}{160}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} -\dfrac{120}{160}&=&-\dfrac{120\div 10}{160\div 10}\\\\&=&-\dfrac{12}{16}\\\\&=&-\dfrac{3\times 4}{4\times 4}\\\\&=&-\dfrac{3}{4}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{-\dfrac{120}{160}=-\dfrac{3}{4}}$

 

Soit à simplifier $-\dfrac{-16}{-48}$

 

Comme $48=3\times 16$ alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} -\dfrac{-16}{-48}&=&-\dfrac{16}{48}\\\\&=&-\dfrac{16}{3\times 16}\\\\&=&-\dfrac{1}{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{-\dfrac{-16}{-48}=-\dfrac{1}{3}}$

 

Soit à simplifier $\dfrac{210}{-441}$

 

On sait que : $441=21\times 21\ $ et $\ 210=21\times 10$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{210}{-441}&=&-\dfrac{210}{441}\\\\&=&-\dfrac{21\times 10}{21\times 21}\\\\&=&-\dfrac{10}{21}\end{array}$

 

2) Désignons ceux qui sont des opposés.

 

On rappelle que deux nombres rationnels $a\ $ et $\ b$ sont opposés si, et seulement si :

$$a+b=0$$

D'après le résultat de la question $1)$, on a :

 

$\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}\;;\quad \dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\ $ et $\ -\dfrac{-16}{-48}=-\dfrac{1}{3}$

 

Or, $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$

 

Donc, les nombres $\dfrac{64}{192}\ $ et $\ -\dfrac{-16}{-48}$ sont des opposés.

 

De même, les nombres rationnels $\dfrac{7}{21}\ $ et $\ -\dfrac{-16}{-48}$ sont des opposés.

 

3) Désignons sont ceux qui sont des inverses

 

On rappelle que deux nombres rationnels $a\ $ et $\ b$ sont inverses si, et seulement si :

$$a\times b=1$$

D'après le résultat de la question $1)$, on a :

 

$\dfrac{64}{192}=\dfrac{1}{3}\;;\quad \dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\ $ et $\ +\dfrac{84}{28}=3$

 

Or, $\dfrac{1}{3}\times 3=\dfrac{3}{3}=1$

 

Donc, les nombres $\dfrac{64}{192}\ $ et $\ +\dfrac{84}{28}$ sont des inverses.

 

De même, les nombres rationnels $\dfrac{7}{21}\ $ et $\ +\dfrac{84}{28}$ sont aussi des inverses.