Corrigé Exercice 17 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Calculons chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.

 

Soit : $A=\left(-\dfrac{8}{7}\right)+\left(-\dfrac{7}{14}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right)$

 

Alors, en appliquant la règle de suppression des parenthèses et en réduisant au même dénominateur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\left(-\dfrac{8}{7}\right)+\left(-\dfrac{7}{14}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\&=&-\dfrac{8}{7}-\dfrac{7}{14}+\dfrac{3}{2}\\\\&=& -\dfrac{16}{14}-\dfrac{7}{14}+\dfrac{21}{14}\\\\&=&\dfrac{(-16-7+21)}{14}\\\\&=&\dfrac{-2}{14}\\\\&=&\dfrac{-2\div 2}{14\div 2}\\\\&=&\dfrac{-1}{7}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{A=-\dfrac{1}{7}}$

 

Soit : $B=\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-5\right)^{2}$

 

Alors, en calculant, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-5\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{10}{2}\right)^{2}\\\\&=& \dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{5-10}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{7}\times\left(\dfrac{-5}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\left(\dfrac{1}{7}\times\dfrac{25}{4}\right)\\\\&=&\dfrac{3}{7}-\dfrac{25}{28}\\\\&=&\dfrac{12}{28}-\dfrac{25}{28}\\\\ &=&\dfrac{12-25}{28}\\\\&=&\dfrac{-13}{28}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=-\dfrac{13}{28}}$

 

Soit : $C=\left|1-\dfrac{4}{3}\right|-\left|1+\dfrac{1}{2}\right|\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

 

Alors, en appliquant les propriétés de la valeur absolue, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\left|1-\dfrac{4}{3}\right|-\left|1+\dfrac{1}{2}\right|\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left|\dfrac{3}{3}-\dfrac{4}{3}\right|-\left|\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\left|\dfrac{3-4}{3}\right|-\left|\dfrac{2+1}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\left|\dfrac{-1}{3}\right|-\left|\dfrac{3}{2}\right|\times\dfrac{1}{4}\\\\ &=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{4}\\\\&=&\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{8}\\\\&=&\dfrac{8}{24}-\dfrac{9}{24}\\\\&=&\dfrac{8-9}{24}\\\\&=&\dfrac{-1}{24}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{C=-\dfrac{1}{24}}$

 

Soit : $D=\left(\dfrac{4-(2-5)^{2}}{7-5}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}$

 

Alors, en calculant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&\left(\dfrac{4-(2-5)^{2}}{7-5}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{4-(-3)^{2}}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{4-9}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\left(\dfrac{-5}{2}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{(-5)^{3}}{2^{3}}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{-125}{8}+\dfrac{17}{8}\\\\&=&\dfrac{-125+17}{8}\\\\&=&\dfrac{-108}{8}\\\\&=&\dfrac{-108\div 4}{8\div 4}\\\\&=&\dfrac{-27}{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=-\dfrac{27}{2}}$