Corrigé Exercice 18 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Sachant que : $a=-\dfrac{5}{2}\;;\ b=\dfrac{3}{2}\;;\ c=\dfrac{1}{2}\ $ et $\ d=\dfrac{1}{6}$ calculons puis rendons irréductible le résultat de :

$$X=\dfrac{a+b}{b-d}\;;\quad Y=a\times c+b\div d\ \text{ et }\ Z=(b-a+c)^{2}$$

Soit : $X=\dfrac{a+b}{b-d}$

 

En remplaçant $a\;;\ b\ $ et $\ d$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{a+b}{b-a}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{6}}\\\\&=& \dfrac{-\dfrac{2}{2}}{\dfrac{9}{6}-\dfrac{1}{6}}\\\\&=&\dfrac{-1}{\dfrac{8}{6}}\\\\&=&\dfrac{-6}{8}\\\\&=&\dfrac{-6\div 2}{8\div 2}\\\\&=&\dfrac{-3}{4}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{X=-\dfrac{3}{4}}$

 

Soit : $Y=a\times c+b\div d$

 

Remplaçons $a\;;\ b\;;\ c $ et $\ d$ par leur valeur.

 

On obtient alors :

 

$\begin{array}{rcl} Y&=&a\times c+b\div d\\\\&=&\left(-\dfrac{5}{2}\times\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}\div\dfrac{1}{6}\right)\\\\&=&-\dfrac{5}{4}+\left(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{1}\right)\\\\&=& \dfrac{-5}{4}+\dfrac{18}{2}\\\\&=&-\dfrac{5}{4}+\dfrac{36}{4}\\\\&=&\dfrac{-5+36}{4}\\\\&=&\dfrac{31}{4}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{Y=\dfrac{31}{4}}$

 

Soit : $Z=(b-a+c)^{2}$

 

En remplaçant $a\;;\ b\ $ et $\ c$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} Z&=&(b-a+c)^{2}\nonumber\\ &=&\left(\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{3+5+1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{9^{2}}{2^{2}}\\\\&=&\dfrac{81}{4}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{Z=\dfrac{81}{4}}$