Corrigé Exercice 19 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

Calculons chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.

 

Soit : $A=\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$

Alors, en calculant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3+1}{3}}{\dfrac{3-1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{2}{3}}\\\\&=&\dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{2}\\\\&=&\dfrac{4}{2}\\\\&=&2\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=2}$

 

Soit : $B=\dfrac{2^{2}+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}$

 

En calculant, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{2^{2}+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}\\\\&=& \dfrac{4+\dfrac{3}{4}}{-5+\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{16}{4}+\dfrac{3}{4}}{\dfrac{-20}{4}+\dfrac{3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{16+3}{4}}{\dfrac{-20+3}{4}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{19}{4}}{\dfrac{-17}{4}}\\\\&=&\dfrac{19}{4}\times\dfrac{4}{-17}\\\\&=&\dfrac{19}{-17}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=-\dfrac{19}{17}}$

 

Soit : $C=\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{2-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{3}}$

 

Alors, en calculant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{2-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{8}{4}+\dfrac{1}{4}}\div\dfrac{\dfrac{8}{4}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3-1}{3}}{\dfrac{8+1}{4}}\div\dfrac{\dfrac{8-1}{4}}{\dfrac{3+1}{3}}\\\\ &=& \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{9}{4}}\div\dfrac{\dfrac{7}{4}}{\dfrac{4}{3}}\\\\ &=& \left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{9}\right)\div\left(\dfrac{7}{4}\times\dfrac{3}{4}\right)\\\\ &=& \left(\dfrac{8}{27}\right)\div\left(\dfrac{21}{16}\right)\\\\ &=& \dfrac{8}{27}\times\dfrac{16}{21}\\\\ &=& \dfrac{128}{567}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{C=\dfrac{128}{567}}$

 

Soit : $F=\dfrac{1+\dfrac{2\pi}{3}}{4-\dfrac{3}{2\pi}}$

 

En calculant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} F&=& \dfrac{1+\dfrac{2\pi}{3}}{4-\dfrac{3}{2\pi}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3}{3}+\dfrac{2\pi}{3}}{\dfrac{8\pi}{2\pi}-\dfrac{3}{2\pi}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3+2\pi}{3}}{\dfrac{8\pi-3}{2\pi}}\\\\&=& \dfrac{3+2\pi}{3}\times\dfrac{2\pi}{8\pi-3}\\\\&=&\dfrac{(3+2\pi)(2\pi)}{3(8\pi-3)}\\\\&=&\dfrac{6\pi+4\pi^{2}}{24\pi-9}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{F=\dfrac{6\pi+4\pi^{2}}{24\pi-9}}$