Corrigé Exercice 1 : Calcul algébrique 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1 "Identités remarquables"
1) Nous allons développer, réduire puis ordonner les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.
Soit : A=(2x+3)2
A est de la forme (a+b)2 avec ; a=2x et b=3
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a+b)2=a2+2ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
A=(2x+3)2=(2x)2+2×2x×3+32=4x2+12x+9
D'où, A=4x2+12x+9
Soit : B=(23x+34)2.
Alors, B est de la forme (a+b)2 avec ; a=23x et b=34.
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a+b)2=a2+2ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
B=(23x+34)2=(23x)2+2×23x×34+(34)2=49x2+1212x+916=49x2+x+916
Ainsi, B=49x2+x+916
Soit : C=(x−13)2
On remarque que C est de la forme (a−b)2 avec ; a=x et b=13.
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a−b)2=a2−2ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
C=(x−13)2=x2−2×x×13+(13)2=x2−23x+19
D'où, C=x2−23x+19
Soit : D=(7x−12)2
Alors, D est de la forme (a−b)2 avec ; a=7x et b=12
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a−b)2=a2−2ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
D=(7x−12)2=(7x)2−2×7x×12+(12)2=49x2−142x+14=49x2−7x+14
D'où, D=49x2−7x+14
Soit : E=(3x−4)(3x+4)
On remarque alors que E est de la forme (a−b)(a+b) avec ; a=3x et b=4
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a−b)(a+b)=a2−b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
E=(3x−4)(3x+4)=(3x)2−(4)2=9x2−16
Ainsi, E=9x2−16
Soit : F=(23x+1)(23x−1)
F est de la forme (a+b)(a−b) avec ; a=23x et b=1
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a+b)(a−b)=a2−b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
F=(23x+1)(23x−1)=(23x)2−12=49x2−1
D'où, F=49x2−1
2) Factorisons les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.
Soit : A=9x2+6x+1
On remarque que A est de la forme a2+2ab+b2 avec ; a=3x et b=1
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2+2ab+b2=(a+b)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
A=9x2+6x+1=(3x+1)2
D'où, A=(3x+1)2
Soit : B=16x2+9+24x
Alors, B peut encore s'écrire : B=16x2+24x+9
On remarque que B est de la forme a2+2ab+b2 avec ; a=4x et b=3
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2+2ab+b2=(a+b)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
B=16x2+24x+9=(4x+3)2
Ainsi, B=(4x+3)2
Soit : C=49x2−1
On remarque alors que A est de la forme a2−b2 avec ; a=23x et b=1
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2−b2=(a−b)(a+b)
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
C=49x2−1=(23x+1)(23x−1)
D'où, C=(23x+1)(23x−1)
Soit : D=25x2−10x+1
On remarque alors que D est de la forme a2−2ab+b2 avec ; a=5x et b=1
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2−2ab+b2=(a−b)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
D=25x2−10x+1=(5x−1)2
Ainsi, D=(5x−1)2
Soit : E=36−12x+x2
E est de la forme a2−2ab+b2 avec ; a=6 et b=x
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2−2ab+b2=(a−b)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
E=36−12x+x2=(6−x)2
D'où, E=(6−x)2
Soit : F=4x2−9
On remarque que F est de la forme a2−b2 avec ; a=2x et b=3
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2−b2=(a−b)(a+b)
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
F=4x2−9=(2x+3)(2x−3)
D'où, F=(2x−3)(2x+3)
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