Corrigé Exercice 1 : Calcul algébrique 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 1 "Identités remarquables"

1) Nous allons développer, réduire puis ordonner les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.
 
Soit : A=(2x+3)2
 
A est de la forme (a+b)2 avec ; a=2x  et  b=3
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a+b)2=a2+2ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
A=(2x+3)2=(2x)2+2×2x×3+32=4x2+12x+9
 
D'où, A=4x2+12x+9
 
Soit : B=(23x+34)2.
 
Alors, B est de la forme (a+b)2 avec ; a=23x  et  b=34.
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a+b)2=a2+2ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
B=(23x+34)2=(23x)2+2×23x×34+(34)2=49x2+1212x+916=49x2+x+916
 
Ainsi, B=49x2+x+916
 
Soit : C=(x13)2
 
On remarque que C est de la forme (ab)2 avec ; a=x  et  b=13.
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(ab)2=a22ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
C=(x13)2=x22×x×13+(13)2=x223x+19
 
D'où, C=x223x+19
 
Soit : D=(7x12)2
 
Alors, D est de la forme (ab)2 avec ; a=7x  et  b=12
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(ab)2=a22ab+b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
D=(7x12)2=(7x)22×7x×12+(12)2=49x2142x+14=49x27x+14
 
D'où, D=49x27x+14
 
Soit : E=(3x4)(3x+4)
 
On remarque alors que E est de la forme (ab)(a+b) avec ; a=3x  et  b=4
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(ab)(a+b)=a2b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
E=(3x4)(3x+4)=(3x)2(4)2=9x216
 
Ainsi, E=9x216
 
Soit : F=(23x+1)(23x1)
 
F est de la forme (a+b)(ab) avec ; a=23x  et  b=1
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
(a+b)(ab)=a2b2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
F=(23x+1)(23x1)=(23x)212=49x21
 
D'où, F=49x21
 
2) Factorisons les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.
 
Soit : A=9x2+6x+1
 
On remarque que A est de la forme a2+2ab+b2 avec ; a=3x  et  b=1
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2+2ab+b2=(a+b)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
A=9x2+6x+1=(3x+1)2
 
D'où, A=(3x+1)2
 
Soit : B=16x2+9+24x
 
Alors, B peut encore s'écrire : B=16x2+24x+9
 
On remarque que B est de la forme a2+2ab+b2 avec ; a=4x  et  b=3
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2+2ab+b2=(a+b)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
B=16x2+24x+9=(4x+3)2
 
Ainsi, B=(4x+3)2
 
Soit : C=49x21
 
On remarque alors que A est de la forme a2b2 avec ; a=23x  et  b=1
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2b2=(ab)(a+b)
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
C=49x21=(23x+1)(23x1)
 
D'où, C=(23x+1)(23x1)
 
Soit : D=25x210x+1
 
On remarque alors que D est de la forme a22ab+b2 avec ; a=5x  et  b=1
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a22ab+b2=(ab)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
D=25x210x+1=(5x1)2
 
Ainsi, D=(5x1)2
 
Soit : E=3612x+x2
 
E est de la forme a22ab+b2 avec ; a=6  et  b=x
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a22ab+b2=(ab)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
E=3612x+x2=(6x)2
 
D'où, E=(6x)2
 
Soit : F=4x29
 
On remarque que F est de la forme a2b2 avec ; a=2x  et  b=3
 
Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
a2b2=(ab)(a+b)
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
F=4x29=(2x+3)(2x3)
 
D'où, F=(2x3)(2x+3)

 

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