Corrigé Exercice 3 : Calcul algébrique 3e
Classe:
Troisième
Exercice 3
Factorisons chacune des expressions suivantes :
Soit : f(x)=(3x+1)2−15(3x+1)
On a alors un facteur commun (3x+1) donc,
f(x)=(3x+1)2−15(3x+1)=(3x+1)[(3x+1)−15]=(3x+1)(3x−14)
D'où, f(x)=(3x+1)(3x−14)
Soit : g(x)=2x(√8−2x)−(√2−x)(x−1).
Dans l'expression de g s'il y a un facteur commun, ça ne peut être que (√2−x) alors, regardons si on peut avoir ce facteur dans (√8−2x).
On a :
(√8−2x)=(√4×2−2x)=(√4×√2−2x)=(2√2−2x)=2(√2−x)
Donc, (√8−2x)=2(√2−x)
Ainsi, dans l'expression de g(x), en remplaçant (√8−2x) par 2(√2−x), on obtient :
g(x)=4x(√2−x)−(√2−x)(x−1)
On a alors un facteur commun (√2−x).
Donc,
g(x)=2x(√8−2x)−(√2−x)(x−1)=4x(√2−x)−(√2−x)(x−1)=(√2−x)[4x−(x−1)]=(√2−x)(4x−x+1)=(√2−x)(3x+1)
D'où, g(x)=(√2−x)(3x+1)
Soit : h(x)=x3−x−(x+1)(2x+10).
Dans l'expression de h on factorise x3−x
On a alors : x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)
x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)
Donc, x3−x=x(x−1)(x+1)
Ainsi, dans l'expression de h(x), en remplaçant x3−x par x(x−1)(x+1), on obtient :
h(x)=x(x−1)(x+1)−(x+1)(2x+10)
On reconnait alors un facteur commun (x+1)
Par suite,
h(x)=x3−x−(x+1)(2x+10)=x(x−1)(x+1)−(x+1)(2x+10)=(x+1)[x(x−1)−(2x+10)]=(x+1)(x2−x−2x−10)=(x+1)(x2−3x−10)
Donc, h(x)=(x+1)(x2−3x−10)
Par ailleurs, on remarque dans cette dernière expression de h(x) que le terme (x2−3x−10) ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun.
Mais, on constate que 2×(−5)=−10 et 2x−5x=−3x
Ainsi, pour factoriser (x2−3x−10), on adopte la démarche suivante :
x2−3x−10=x2+2x−5x−10=x(x+2)−5(x+2)=(x+2)(x−5)
Donc, (x2−3x−10)=(x+2)(x−5)
D'où, h(x)=(x+1)(x+2)(x−5)
Soit : j(x)=x2+6x+8.
On constate que l'expression de j ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun. Donc, j(x) n'est pas factorisable à travers ces deux méthodes.
Par contre, on a : 4×2=8 et 4x+2x=6x
Ainsi, pour factoriser j(x), on adopte d'abord la démarche suivante :
j(x)=x2+6x+8=x2+4x+2x+4+4=(x2+4x+4)+2x+4
On voit alors apparaitre une identité remarquable.
Donc,
j(x)=(x2+4x+4)+2x+4=(x+2)2+2(x+2)
Ensuite, en identifiant un facteur commun (x+2), on a :
j(x)=(x+2)2+2(x+2)=(x+2)[(x+2)+2]=(x+2)(x+2+2)=(x+2)(x+4)
Ainsi, j(x)=(x+2)(x+4)
Soit : k(x)=(2x+1)2−4+8x+12.
En utilisant les identités remarquables on a :
(2x+1)2−4=(2x+1−2)(2x+1+2)=(2x−1)(2x+3)
Or, la factorisation par 4 de 8x+12 donne : 8x+12=4(2x+3).
Par suite, k(x)=(2x−1)(2x+3)+4(2x+3).
On reconnait alors un facteur commun (2x+3).
Donc,
k(x)=(2x+1)2−4+8x+12=(2x−1)(2x+3)+4(2x+3)=(2x+3)[(2x−1)+4]=(2x+3)(2x+3)=(2x+3)2
Ainsi, l'expression finale nous renvoie à une identité remarquable.
D'où, k(x)=(2x+3)2
Soit : l(x)=3x2+18x+27.
En factorisant par 3 on obtient :
l(x)=3x2+18x+27=3(x2+6x+9)
Or, (x2+6x+9) renvoie à une identité remarquable (x+3)2.
Par conséquent,
l(x)=3x2+18x+27=3(x2+6x+9)=3(x+3)2
D'où, l(x)=3(x+3)2
Soit : m(x)=9x2−6x√2+2x(3x−√2)+2.
On remarque que 9x2−6x√2+2=(3x−√2)2.
Donc, en prenant (3x−√2) comme facteur commun on obtient :
m(x)=9x2−6x√2+2x(3x−√2)+2=9x2−6x√2+2+2x(3x−√2)=(3x−√2)2+2x(3x−√2)=(3x−√2)[(3x−√2)+2x]=(3x−√2)(5x−√2)
Ainsi, m(x)=(3x−√2)(5x−√2)
Soit : n(x)=16(x−3)2−49(2x+1)2.
En remarquant que 16(x−3)2=[4(x−3)]2 et que 49(2x+1)2=[7(2x+1)]2, on obtient :
n(x)=16(x−3)2−49(2x+1)2=[4(x−3)]2−[7(2x+1)]2=[4(x−3)−7(2x+1)][4(x−3)+7(2x+1)]=(4x−12−14x−7)(4x−12+14x+7)=(−10x−19)(18x−5)=−(10x+19)(18x−5)
Donc, n(x)=−(10x+19)(18x−5)
Soit : p(x)=(4x−√3)2−2x(4x−√3)+x2.
Il suffit de remarquer que l'expression de p(x) est de la forme a2−2ab+b2 avec, a=(4x−√3) et b=x.
Or, d'après une propriété sur la forme factorisée des identités remarquables, on a :
a2−2ab+b2=(a−b)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
p(x)=(4x−√3)2−2x(4x−√3)+x2=[(4x−√3)−x]2=(4x−√3−x)2=(3x−√3)2
D'où, p(x)=(3x−√3)2
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