Corrigé Exercice 3 : Calcul algébrique 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 3

Factorisons chacune des expressions suivantes :
 
Soit : f(x)=(3x+1)215(3x+1)
 
On a alors un facteur commun (3x+1) donc, 
 
f(x)=(3x+1)215(3x+1)=(3x+1)[(3x+1)15]=(3x+1)(3x14)
 
D'où, f(x)=(3x+1)(3x14)
 
Soit : g(x)=2x(82x)(2x)(x1).
 
Dans l'expression de g s'il y a un facteur commun, ça ne peut être que (2x) alors, regardons si on peut avoir ce facteur dans (82x).
 
On a : 
 
(82x)=(4×22x)=(4×22x)=(222x)=2(2x)
 
Donc, (82x)=2(2x)
 
Ainsi, dans l'expression de g(x), en remplaçant (82x) par 2(2x), on obtient :
g(x)=4x(2x)(2x)(x1)
On a alors un facteur commun (2x).
 
Donc, 
 
g(x)=2x(82x)(2x)(x1)=4x(2x)(2x)(x1)=(2x)[4x(x1)]=(2x)(4xx+1)=(2x)(3x+1)
 
D'où, g(x)=(2x)(3x+1)
 
Soit : h(x)=x3x(x+1)(2x+10).
 
Dans l'expression de h on factorise x3x
 
On a alors : x3x=x(x21)=x(x1)(x+1)
 
x3x=x(x21)=x(x1)(x+1)
 
Donc, x3x=x(x1)(x+1)
 
Ainsi, dans l'expression de h(x), en remplaçant x3x par x(x1)(x+1), on obtient :
h(x)=x(x1)(x+1)(x+1)(2x+10)
On reconnait alors un facteur commun (x+1)
 
Par suite,
 
h(x)=x3x(x+1)(2x+10)=x(x1)(x+1)(x+1)(2x+10)=(x+1)[x(x1)(2x+10)]=(x+1)(x2x2x10)=(x+1)(x23x10)
 
Donc, h(x)=(x+1)(x23x10)
 
Par ailleurs, on remarque dans cette dernière expression de h(x) que le terme (x23x10) ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun.
 
Mais, on constate que 2×(5)=10  et  2x5x=3x
 
Ainsi, pour factoriser (x23x10), on adopte la démarche suivante :
 
x23x10=x2+2x5x10=x(x+2)5(x+2)=(x+2)(x5)
 
Donc, (x23x10)=(x+2)(x5)
 
D'où, h(x)=(x+1)(x+2)(x5)
 
Soit : j(x)=x2+6x+8.
 
On constate que l'expression de j ne renvoie pas à une identité remarquable et n'admet pas de facteur commun. Donc, j(x) n'est pas factorisable à travers ces deux méthodes.
 
Par contre, on a : 4×2=8  et  4x+2x=6x
 
Ainsi, pour factoriser j(x), on adopte d'abord la démarche suivante :
 
j(x)=x2+6x+8=x2+4x+2x+4+4=(x2+4x+4)+2x+4
 
On voit alors apparaitre une identité remarquable.
 
Donc,
 
j(x)=(x2+4x+4)+2x+4=(x+2)2+2(x+2)
 
Ensuite, en identifiant un facteur commun (x+2), on a : 
 
j(x)=(x+2)2+2(x+2)=(x+2)[(x+2)+2]=(x+2)(x+2+2)=(x+2)(x+4)
 
Ainsi, j(x)=(x+2)(x+4)
 
Soit : k(x)=(2x+1)24+8x+12.
 
En utilisant les identités remarquables on a : 
 
(2x+1)24=(2x+12)(2x+1+2)=(2x1)(2x+3)
 
Or, la factorisation par 4 de 8x+12 donne : 8x+12=4(2x+3).
 
Par suite, k(x)=(2x1)(2x+3)+4(2x+3).
 
On reconnait alors un facteur commun (2x+3).
 
Donc,
 
k(x)=(2x+1)24+8x+12=(2x1)(2x+3)+4(2x+3)=(2x+3)[(2x1)+4]=(2x+3)(2x+3)=(2x+3)2
 
Ainsi, l'expression finale nous renvoie à une identité remarquable.
 
D'où, k(x)=(2x+3)2
 
Soit : l(x)=3x2+18x+27. 
 
En factorisant par 3 on obtient :
 
l(x)=3x2+18x+27=3(x2+6x+9)
 
Or, (x2+6x+9) renvoie à une identité remarquable (x+3)2.
 
Par conséquent,
 
l(x)=3x2+18x+27=3(x2+6x+9)=3(x+3)2
 
D'où, l(x)=3(x+3)2
 
Soit : m(x)=9x26x2+2x(3x2)+2.
 
On remarque que 9x26x2+2=(3x2)2.
 
Donc, en prenant (3x2) comme facteur commun on obtient :
 
m(x)=9x26x2+2x(3x2)+2=9x26x2+2+2x(3x2)=(3x2)2+2x(3x2)=(3x2)[(3x2)+2x]=(3x2)(5x2)
 
Ainsi, m(x)=(3x2)(5x2)
 
Soit : n(x)=16(x3)249(2x+1)2. 
 
En remarquant que 16(x3)2=[4(x3)]2 et que 49(2x+1)2=[7(2x+1)]2, on obtient :
 
n(x)=16(x3)249(2x+1)2=[4(x3)]2[7(2x+1)]2=[4(x3)7(2x+1)][4(x3)+7(2x+1)]=(4x1214x7)(4x12+14x+7)=(10x19)(18x5)=(10x+19)(18x5)
 
Donc, n(x)=(10x+19)(18x5)
 
Soit : p(x)=(4x3)22x(4x3)+x2.
 
Il suffit de remarquer que l'expression de p(x) est de la forme a22ab+b2 avec, a=(4x3)  et  b=x.
 
Or, d'après une propriété sur la forme factorisée des identités remarquables, on a :
a22ab+b2=(ab)2
Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :
 
p(x)=(4x3)22x(4x3)+x2=[(4x3)x]2=(4x3x)2=(3x3)2
 
D'où, p(x)=(3x3)2

 

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