Corrigé Exercice 9 : Calcul algébrique 3e

 

On donne les expressions suivantes :

 

$f(x)=x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}$

 

$g(x)=2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)$

 

1) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$

 

Soit : $f(x)=x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}$ alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}\\\\&=&x^{2}+x\sqrt{3}-(2x+\sqrt{4\times 3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-(2x+\sqrt{4}\times\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-(2x+2\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&x(x+\sqrt{3})-2(x+\sqrt{3})(x+3)\\\\&=&(x+\sqrt{3})[x-2(x+3)]\\\\&=&(x+\sqrt{3})(x-2x-6)\\\\&=&(x+\sqrt{3})(-x-6)\\\\&=&-(x+\sqrt{3})(x+6)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=-(x+\sqrt{3})(x+6)}$

 

Soit : $g(x)=2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)$ alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12)\\\\&=&2(x-6)(x+6)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(x+6)\times 2\\\\&=&(x+6)[2(x-6)+(3x-1)+2(2x-4)]\\\\&=&(x+6)(2x-12+3x-1+4x-8)\\\\&=&(x+6)(9x-21)\\\\&=&3(x+6)(3x-7)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{g(x)=3(x+6)(3x-7)}$

 

2) On pose $q(x)=\dfrac{-(x+\sqrt{3})(x+6)}{3(x+6)(3x-7)}.$

 

a) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles $q(x)$ n'a pas de sens.

 

En effet, $q(x)$ n'a pas de sens si, le dénominateur est nul.

 

Ce qui signifie : $3(x+6)(3x-7)=0$

 

Or, $3$ est différent de $0$ donc, on a : 

 

$\begin{array}{rcl} 3(x+6)(3x-7)=0&\Leftrightarrow&(x+6)(3x-7)=0\\\\&\Leftrightarrow&x+6=0\ \text{ ou }\ 3x-7=0\\\\&\Leftrightarrow&x=-6\ \text{ ou }\ 3x=7\\\\&\Leftrightarrow&x=-6\ \text{ ou }\ x=\dfrac{7}{3}\end{array}$

 

Donc, si $x=-6\ $ ou $\ \dfrac{7}{3}$ alors, $q(x)$ n'a pas de sens.

 

b) Simplifions $q(x)$ puis calculons $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.

 

Pour tout $x$ différent de $-6\ $ et $\ \dfrac{7}{3}$, on a :

 

$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{-(x+\sqrt{3})(x+6)}{3(x+6)(3x-7)}\\\\&=&\dfrac{-(x+\sqrt{3})}{3(3x-7)}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{q(x)=-\dfrac{(x+\sqrt{3})}{3(3x-7)}}$

 

Calculons $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur. 

 

Pour cela, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression simplifiée de $q(x).$

 

Ce qui donne :

 

$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&-\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{3})}{3(3\sqrt{3}-7)}\\\\&=&-\dfrac{2\sqrt{3}(3\sqrt{3}+7)}{3(3\sqrt{3}-7)(3\sqrt{3}+7)}\\\\&=&-\dfrac{(2\sqrt{3})\times(3\sqrt{3})+7\times 2\sqrt{3}}{3((3\sqrt{3})^{2}-(7)^{2})}\\\\&=&-\dfrac{6\times 3+14\sqrt{3}}{3(27-49)}\\\\&=&-\dfrac{18+14\sqrt{3}}{3(-22)}\\\\&=&-\dfrac{18+14\sqrt{3}}{-66}\\\\&=&\dfrac{9+7\sqrt{3}}{33}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{q(\sqrt{3})=\dfrac{9+7\sqrt{3}}{33}}$

 

3) Calculons $g(\sqrt{3})$ puis l'encadrons à $10^{-2}$ près sachant que $1.73<\sqrt{3}<1.74$

 

D'après le résultat de la question $1)$, on a : $g(x)=3(x+6)(3x-7)$

 

Donc, en remplaçant $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression factorisée de $g(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(\sqrt{3})&=&3(\sqrt{3}+6)(3\sqrt{3}-7)\\\\&=&3(3\sqrt{3}\times\sqrt{3}+6\times 3\sqrt{3}-7\sqrt{3}-7\times 6)\\\\&=&3(3\times 3+18\sqrt{3}-7\sqrt{3}-42)\\\\&=&3(9+11\sqrt{3}-42)\\\\&=&3(-33+11\sqrt{3})\\\\&=&-99+33\sqrt{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{g(\sqrt{3})=-99+33\sqrt{3}}$

 

Encadrons $g(\sqrt{3})$ à $10^{-2}$ près sachant que $1.73<\sqrt{3}<1.74$

 

Soit : $1.73<\sqrt{3}<1.74$ alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par le même nombre $33$, on obtient :

$$1.73\times 33<33\sqrt{3}<1.74\times 33$$

Ce qui donne : $57.09<33\sqrt{3}<57.42$

 

Ajoutons alors $-99$ à chaque membre de l'inégalité.

 

On trouve :

$$57.09-99<-99+33\sqrt{3}<57.42-99$$

C'est-à-dire ; $-41.91<-99+33\sqrt{3}<-41.58$

 

D'où, un encadrement de $g(\sqrt{3})$ à $10^{-2}$ près est donné par :

$$\boxed{-41.91<g(\sqrt{3})<-41.58}$$