Corrigé Exercice 13 : Théorème de Thalès - 3e

 

Dans le plan, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que : $AB=2\;cm\ $ et $\ BC=1\;cm.$

 

1) Faisons une figure complète.

Calculons $AC.$

 

Comme $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$$

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl} AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}&\Rightarrow&AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}\\ \\&\Rightarrow&AC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}\\ \\&\Rightarrow&AC=\sqrt{4+1}\\ \\&\Rightarrow&AC=\sqrt{5}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AC=\sqrt{5}}$

 

2) On considère le point $D$, tel que : $B$ soit un point du segment $[AD]\ $ et $\ AD=8\;cm.$

 

3) a) Soit $E$ le point de la droite $(AC)$ dont la projection orthogonale sur $(AB)$ est le point $D.$

 

b) Montrons que les droites $(BC)\ $ et $\ (DE)$ sont parallèles. 

 

On a : $(BC)\ $ et $\ (DE)$ sont deux droites perpendiculaires à la droite $(AB).$

 

Or, on sait que deux droites sont perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

 

Par conséquent, $(BC)\ $ et $\ (DE)$ sont parallèles.

 

c) Calculons les distances $AE\ $ et $\ DE.$

 

Les droites $(BC)\ $ et $\ (DE)$ étant parallèles alors, les triangles $ABC\ $ et $\ ADE$ sont en position de Thalès.

 

Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$$

Alors, en remplaçant $AC\;,\ AD\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{AE}{\sqrt{5}}=\dfrac{8}{2}&\Leftrightarrow&AE=4\times\sqrt{5}\\\\&\Leftrightarrow&AE=4\sqrt{5}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AE=4\sqrt{5}}$

 

En appliquant encore le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$$

Donc, en remplaçant $BC\;,\ AD\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{DE}{1}=\dfrac{8}{2}&\Rightarrow&DE=4\end{array}$

 

D'où, $\boxed{DE=4}$

 

4) Calculons l'aire de $ABC$ et le coefficient $K$ de réduction des longueurs.

 

L'aire du triangle $ABC$ est donnée par :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Aire}(ABC)&=&\dfrac{AB\times BC}{2}\\\\&=&\dfrac{2\times 1}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\text{Aire}(ABC)=1\;cm^{2}}$

 

Le coefficient $K$ de réduction des longueurs est donné par :

$$K=\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{1}{4}$$

Donc, $\boxed{K=\dfrac{1}{4}}$

 

En déduisons l'aire de $ADE.$

 

En effet, on sait que si le coefficient de réduction des longueurs est $K$ alors, le coefficient de réduction des aires est égal à $K^{2}.$

 

Ce qui signifie : $\text{Aire}(ABC)=K^{2}\times\text{Aire}(ADE)$

 

Ainsi,

$$\text{Aire}(ADE)=\dfrac{\text{Aire}(ABC)}{K^{2}}$$

En remplaçant, $\text{Aire}(ABC)\ $ et $\ K$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Aire}(ADE)&=&\dfrac{\text{Aire}(ABC)}{K^{2}}\\\\&=&\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}}\\\\&=&\dfrac{1}{\dfrac{1}{16}}\\\\&=&16\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\text{Aire}(ADE)=16\;cm^{2}}$