Corrigé Exercice 20 : Théorème de Thalès - 3e

 

$ABCD$ est un trapèze rectangle tel que : 

$$AB=4\,cm\;,\ AD=3\,cm\ \text{ et }\ DC=6\,cm$$

1) Faisons la figure en vraie grandeur.

2) Calculons $BD\ $ et $\ AC.$

 

$-\ $ Calcul de $BD$

 

Le triangle $ABD$ étant rectangle en $A$ alors, en utilisant le théorème Pythagore, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}&\Rightarrow&BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}\\\\&\Rightarrow&BD=\sqrt{4^{2}+3^{2}}\\\\&\Rightarrow&BD=\sqrt{16+9}\\\\&\Rightarrow&BD=\sqrt{25}\\\\&\Rightarrow&BD=5\end{array}$

 

D'où, $\boxed{BD=5\,cm}$

 

$-\ $ Calcul de $AC$

 

Comme le triangle $ADC$ est rectangle en $D$ alors, d'après le théorème Pythagore, on a :

 

$\begin{array}{rcl} AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}&\Rightarrow&AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{3^{2}+6^{2}}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{9+36}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{45}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{9\times 5}\\\\&\Rightarrow&AC=\sqrt{9}\times\sqrt{5}\\\\&\Rightarrow&AC=3\sqrt{5}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{AC=3\sqrt{5}\,cm}$

 

3) La perpendiculaire à la droite $(DC)$ passant par $B$ coupe $(DC)$ en $E.$

 

Montrons que $BC=\sqrt{13}.$

 

Comme $(DC)$ est perpendiculaire à $(BE)$ en $E$ alors, le triangle $BEC$ est rectangle en $E.$

 

Donc, en appliquant le théorème Pythagore, on obtient :

$$BC^{2}=BE^{2}+EC^{2}$$

Or, $EC=DC-DE\ $ et $\ DE=AB$

 

Donc, $EC=DC-AB=6-4=2\,cm$

 

De plus, $BE=AD=3\,cm$

 

Par suite, en remplaçant $BE\ $ et $\ EC$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} BC^{2}=BE^{2}+EC^{2}&\Rightarrow&BC=\sqrt{BE^{2}+EC^{2}}\\\\&\Rightarrow&BC=\sqrt{3^{2}+2^{2}}\\\\&\Rightarrow&BC=\sqrt{9+4}\\\\&\Rightarrow&BC=\sqrt{13}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{BC=\sqrt{13}}$

 

4) Soit $F$ le point de la droite $(EB)$ n'appartenant pas à $[BE]$ tel que $EF=1.5\;cm.$

 

Démontrons que $(CF)\ $ et $\ (DB)$ sont parallèles.

 

Considérons $B\;,\ E\;,\ F$ trois points alignés d'une part, et $D\;,\ E\;,\ C$ trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

 

Calculons les rapports $\dfrac{EF}{EB}\quad\text{et}\quad\dfrac{EC}{ED}$

 

On a :

 

$\dfrac{EF}{EB}=\dfrac{1.5}{3}=0.5$

 

$\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{2}{4}=0.5$

 

On constate alors : $\dfrac{EF}{EB}=\dfrac{EC}{ED}$

 

Par conséquent, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites $(CF)\ $ et $\ (DB)$ sont parallèles.

 

5) Calculons $FC.$

 

En effet, les droites $(CF)\ $ et $\ (DB)$ étant parallèles alors, les triangles $BED\ $ et $\ CEF$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en utilisant le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{FC}{BD}=\dfrac{EC}{ED}$$

Ainsi, en remplaçant $EC\ $ et $\ BD$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{FC}{BD}=\dfrac{EC}{ED}&\Rightarrow&\dfrac{FC}{5}=\dfrac{2}{4}\\\\&\Rightarrow&4\times FC=5\times 2\\\\&\Rightarrow&FC=\dfrac{10}{4}\\\\&\Rightarrow&FC=2.5\end{array}$

 

D'où, $\boxed{FC=2.5\,cm}$