Corrigé Exercice 4 : Distances - 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 4 Inégalité triangulaire
1) Construisons un triangle quelconque $ABC$, et choisis un point $R$ sur le segment $[BC].$
On note $p$ le périmètre du triangle $ABC.$
2) Démontrons que $AR<\dfrac{p}{2}$
$-\ $ En appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle $ARB$, on obtient :
$$AR<AB+BR\qquad\text{(inégalité 1)}$$
$-\ $ En appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle $ARC$, on obtient :
$$AR<AC+CR\qquad\text{(inégalité 2)}$$
$-\ $ En additionnant les inégalités (1) et (2) membre à membre, on trouve :
$$AR+AR<AB+BR+AC+CR$$
Ce qui est équivalent à :
$$2AR<AB+BR+CR+AC\qquad\text{(inégalité 3)}$$
Comme $R\in[BC]$ alors, $BR+CR=BC$
Par suite, en remplaçant $BR+CR$ par $BC$ dans l'inégalité (3), on obtient :
$$2AR<AB+BC+AC\qquad\text{(inégalité 4)}$$
Or, $\ AB+BC+AC=p$ donc, en remplaçant $AB+BC+AC$ par $p$ dans l'inégalité (4), on obtient :
$$2AR<p\ \Rightarrow\ AR<\dfrac{p}{2}$$
Ainsi, $\boxed{AR<\dfrac{p}{2}}$
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