Bac maths - N.Calédonie
Basique :
3 points
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal (O; →i, →j, →k), on considère les points : A(3; −2; 1), B(5; 2; −3), C(6; −2; −2), D(3; 3; 2).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle.
2. a. Montrer que le vecteur →n(2; 1; 2) est un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire une équation du plan (ABC).
c. Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.
3. Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unité de volume.
Correction
1. →AC=(80−3), →BC=(1−41) d'où →AC⋅→BC=0.
Les points ne sont pas alignés car les vecteurs sont orthogonaux et AB=√9+9=3√2,BC=√1+16+1=3√2
2.a. →n⋅→AC=6+0−6=0, →n⋅→AC=2−4+2=0.
b. →AM⋅→n=0⇔2(x−3)+1(y+2)+2(z−1)=0⇔2x+y+2z=0
c. d(D, ABC)=|2xD+yD+2zD−6|√4+1+4=93=3
3. V=13×d(D, ABC)×Aire(ABCD)=13×3×3√2×3√22=9
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