Bac maths - N.Calédonie
Basique :
3 points
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$, on considère les points : $A(3;\ -2;\ 1),\ $ $B(5;\ 2;\ -3),\ $ $C(6;\ -2;\ -2),\ $ $D(3;\ 3;\ 2)$.
1. Montrer que les points $A$,$\ B$ et $C$ ne sont pas alignés, puis que le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle.
2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}(2;\ 1;\ 2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
b. En déduire une équation du plan $(ABC)$.
c. Montrer que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à 3.
3. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ en unité de volume.
Correction
1. $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 8\\ 0\\ -3 \end{pmatrix}\;,\ \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 1\\ -4\\ 1 \end{pmatrix}$ d'où $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0.$
Les points ne sont pas alignés car les vecteurs sont orthogonaux et $$AB=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\;,\quad BC=\sqrt{1+16+1}=3\sqrt{2}$$
2.a. $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=6+0-6=0\;,\ \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2-4+2=0$.
b. \begin{eqnarray} \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0&\Leftrightarrow&2(x-3)+1(y+2)+2(z-1)=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&2x+y+2z=0 \nonumber \end{eqnarray}
c. \begin{eqnarray} d(D\;,\ ABC)&=&\dfrac{|2x_{D}+y_{D}+2z_{D}-6|}{\sqrt{4+1+4}} \nonumber \\ &=&\dfrac{9}{3} \nonumber \\ &=&3 \nonumber \end{eqnarray}
3. \begin{eqnarray} V&=&\dfrac{1}{3}\times d(D,\ ABC)\times Aire(ABCD) \nonumber \\ &=&\dfrac{1}{3}\times 3\times\dfrac{3\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \nonumber \\ &=&9 \nonumber \end{eqnarray}
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