Corrigé Exercice 3 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 3
Résolvons dans R les équations suivantes :
a) x2−9(x−1)2=0
On remarque que x2−9(x−1)2=x2−[3(x−1)]2
Donc, en utilisant les propriétés des identités remarquables, on obtient :
x2−9(x−1)2=x2−[3(x−1)]2=(x−3(x−1))(x+3(x−1))=(x−3x+3)(x+3x−3)=(−2x+3)(4x−3)
Ainsi, x2−9(x−1)2=0 si, et seulement si, (−2x+3)(4x−3)=0
Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Donc, (−2x+3)(4x−3)=0 si, et seulement si,
(−2x+3)=0 ou (4x−3)=0
Par suite, −2x=−3 ou 4x=3
Par conséquent, x=−3−2=32 ou x=34
D'où, S={32; 34}
b) (x+12)(3−2x)+x2+x+14=0
Nous constatons que x2+x+14=(x+12)2
Alors, (x+12)(3−2x)+x2+x+14=(x+12)(3−2x)+(x+12)2
Donc, en prenant (x+12) comme facteur commun puis en factorisant on obtient :
(x+12)(3−2x)+x2+x+14=(x+12)(3−2x)+(x+12)2=(x+12)[(3−2x)+(x+12)]=(x+12)(3−2x+x+12)=(x+12)(−x+72)
Ainsi, (x+12)(3−2x)+x2+x+14=0 si, et seulement si, (x+12)(−x+72)=0
On aura alors, (x+12)=0 ou (−x+72)=0
Ce qui donne, x=−12 ou x=72
D'où, S={−12; 72}
c) (3x−1)2+9=0
On a : (3x−1)2+9=0 si, et seulement si, (3x−1)2=−9
Or, un carré n'est jamais négatif. Donc, il n'existe pas de réels vérifiant (3x−1)2+9=0
D'où, S=∅
d) (x−5)2=3
On a : (x−5)2=3 si, et seulement si, √(x−5)2=√3
Or, √(x−5)2=|(x−5)|
On aura alors, |(x−5)|=√3
Donc, x−5=√3 ou x−5=−√3
C'est-à-dire ; x=5+√3 ou x=5−√3
Ainsi, S={5−√3; 5+√3}
e) 3x2−14=2
On a : 3x2−14=2 si, et seulement si, 3x2=2+14=16
Ou encore, x2=163
Or, on sait que x2=163 si, et seulement si, √x2=√163
et comme √x2=|x| alors, on a : |x|=√163
Cette équation a pour solution :
x=√163=4√33 ou x=−√163=−4√33
D'où, S={−4√33; 4√33}
f) |−2x+5|=12
On a : |−2x+5|=12 si, et seulement si,
−2x+5=12 ou −2x+5=−12
Alors, −2x=−5+12 ou −2x=−5−12
Donc, x=−5+12−2 ou x=−5−12−2
C'est-à-dire ; x=52−14=94 ou x=52+14=114
Ainsi, S={94; 114}
g) |4x+√3|=23
En appliquant la même démarche que dans la question f), on aura :
4x+√3=23 ou 4x+√3=−23
Alors, 4x=23−√3 ou 4x=−23−√3
Donc, x=23−√34=23×4−√34
ou x=−23−√34=−23×4−√34
Soit ; x=16−√34=2−3√312 ou x=−16−√34=−2−3√312
Ainsi, S={−2−3√312; 2−3√312}
h) √(x−2)2=4
√(x−2)2=4 si, et seulement si, |(x−2)|=4
On aura alors, x−2=4 ou x−2=−4
Par suite, x=4+2=6 ou x=−4+2=−2
D'où, S={−2; 6}
i) 2|3−4x|−4|2x−1|=0
2|3−4x|−4|2x−1|=0 si, et seulement si, 2|3−4x|=4|2x−1|
Ce qui donne, en simplifiant par 2, |3−4x|=2|2x−1|=|2(2x−1)|
Alors, |3−4x|=|2(2x−1)| si, et seulement si,
3−4x=2(2x−1)=4x−2 ou 3−4x=−2(2x−1)=−4x+2
Donc, −4x−4x=−2−3 ou 4x−4x=2−3
Ce qui donne, −8x=−5 ou 0x=−1
Or, 0x=−1 est impossible
Par conséquent, on trouve x=58
Ainsi, S={58}
j) |5x−2|+3=0
|5x−2|+3=0 si, et seulement si, |5x−2|=−3
Mais comme une valeur absolue n'est jamais négative alors, S=∅
k) x2+4=(x2−2)2
On a : x2+4=(x2−2)2 si, et seulement si, x2=(x2−2)2−4
Or, (x2−2)2−4=((x2−2)−2)((x2−2)+2)=(x2−4)(x2)
On aura alors, x2=x2(x2−4)
Ce qui donne, x2−x2(x2−4)=0
Soit ; x2(1−(x2−4))=0
Donc, x2=0 ou 5−x2=0
Par suite, x=0 ou √x2=√5
Or, √x2=√5 est équivalente à |x|=√5
et |x|=√5 si, et seulement si, x=√5 ou x=−√5
Par conséquent, l'équation x2+4=(x2−2)2 aura pour solutions :
x=0 ou x=√5 ou x=−√5
Ainsi, S={−√5; 0; √5}
l) 2x−√32+√3=0
2x−√32+√3=0 si, et seulement si, le numérateur est nul.
C'est-à-dire ; 2x−√3=0
Soit ; x=√32
Donc, S={32}
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