Corrigé Exercice 3 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 3

Résolvons dans R les équations suivantes :
 
a) x29(x1)2=0
 
On remarque que x29(x1)2=x2[3(x1)]2
 
Donc, en utilisant les propriétés des identités remarquables, on obtient :
 
x29(x1)2=x2[3(x1)]2=(x3(x1))(x+3(x1))=(x3x+3)(x+3x3)=(2x+3)(4x3)
 
Ainsi, x29(x1)2=0 si, et seulement si, (2x+3)(4x3)=0
Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
 
Donc, (2x+3)(4x3)=0 si, et seulement si, 
 
(2x+3)=0 ou (4x3)=0
 
Par suite, 2x=3 ou 4x=3
 
Par conséquent, x=32=32 ou x=34
 
D'où, S={32; 34}
b) (x+12)(32x)+x2+x+14=0 
 
Nous constatons que x2+x+14=(x+12)2
 
Alors, (x+12)(32x)+x2+x+14=(x+12)(32x)+(x+12)2
 
Donc, en prenant (x+12) comme facteur commun puis en factorisant on obtient :
 
(x+12)(32x)+x2+x+14=(x+12)(32x)+(x+12)2=(x+12)[(32x)+(x+12)]=(x+12)(32x+x+12)=(x+12)(x+72)
 
Ainsi, (x+12)(32x)+x2+x+14=0 si, et seulement si, (x+12)(x+72)=0
 
On aura alors, (x+12)=0 ou (x+72)=0
 
Ce qui donne, x=12 ou x=72
 
D'où, S={12; 72}
c) (3x1)2+9=0
 
On a : (3x1)2+9=0 si, et seulement si, (3x1)2=9
 
Or, un carré n'est jamais négatif. Donc, il n'existe pas de réels vérifiant (3x1)2+9=0
 
D'où, S=
d) (x5)2=3
 
On a : (x5)2=3 si, et seulement si, (x5)2=3
 
Or, (x5)2=|(x5)|
 
On aura alors, |(x5)|=3
 
Donc, x5=3 ou x5=3
 
C'est-à-dire ; x=5+3 ou x=53
 
Ainsi, S={53; 5+3}
 
e) 3x214=2
 
On a : 3x214=2 si, et seulement si, 3x2=2+14=16
 
Ou encore, x2=163
 
Or, on sait que x2=163 si, et seulement si, x2=163
 
et comme x2=|x| alors, on a : |x|=163
Cette équation a pour solution : 
 
x=163=433 ou x=163=433
 
D'où, S={433; 433}
f) |2x+5|=12 
 
On a :  |2x+5|=12 si, et seulement si, 
 
2x+5=12 ou 2x+5=12
 
Alors, 2x=5+12 ou 2x=512
 
Donc, x=5+122 ou x=5122
 
C'est-à-dire ; x=5214=94 ou x=52+14=114
 
Ainsi, S={94; 114}
g) |4x+3|=23
 
En appliquant la même démarche que dans la question f), on aura :
 
4x+3=23 ou 4x+3=23
 
Alors, 4x=233 ou 4x=233
 
Donc, x=2334=23×434 
 
ou  x=2334=23×434
 
Soit ; x=1634=23312 ou x=1634=23312
 
Ainsi, S={23312; 23312}
h) (x2)2=4
 
(x2)2=4 si, et seulement si, |(x2)|=4
 
On aura alors, x2=4 ou x2=4
 
Par suite, x=4+2=6 ou x=4+2=2
 
D'où, S={2; 6}
i) 2|34x|4|2x1|=0
 
2|34x|4|2x1|=0 si, et seulement si, 2|34x|=4|2x1|
 
Ce qui donne, en simplifiant par 2, |34x|=2|2x1|=|2(2x1)|
 
Alors, |34x|=|2(2x1)| si, et seulement si,
 
34x=2(2x1)=4x2 ou 34x=2(2x1)=4x+2
 
Donc, 4x4x=23 ou 4x4x=23
 
Ce qui donne, 8x=5 ou 0x=1
 
Or, 0x=1 est impossible
 
Par conséquent, on trouve x=58
 
Ainsi, S={58}
j) |5x2|+3=0
 
|5x2|+3=0 si, et seulement si, |5x2|=3
 
Mais comme une valeur absolue n'est jamais négative alors, S=
 
k) x2+4=(x22)2
 
On a : x2+4=(x22)2 si, et seulement si, x2=(x22)24
 
Or, (x22)24=((x22)2)((x22)+2)=(x24)(x2)
 
On aura alors, x2=x2(x24)
 
Ce qui donne, x2x2(x24)=0
 
Soit ; x2(1(x24))=0
 
Donc, x2=0 ou  5x2=0
 
Par suite, x=0 ou  x2=5
 
Or, x2=5 est équivalente à |x|=5 
 
et |x|=5 si, et seulement si, x=5 ou  x=5 
 
Par conséquent, l'équation x2+4=(x22)2 aura pour solutions :
 
x=0 ou  x=5 ou  x=5
 
Ainsi, S={5; 0; 5}
l) 2x32+3=0
 
2x32+3=0 si, et seulement si, le numérateur est nul.
 
C'est-à-dire ; 2x3=0
 
Soit ; x=32
 
Donc,  S={32}
 
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