Corrigé Exercice 4 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des équations :

 

a) $5x(x-1)(x-\sqrt{3})=0$

 

Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

 

Donc, $5x(x-1)(x-\sqrt{3})=0$ si, et seulement si, 

 

$5x=0\quad$ ou $\quad(x-1)=0\quad$ ou $\quad(x-\sqrt{3})=0$

 

Alors on aura : $x=0\quad$ ou $\quad x=1\quad$ ou $\quad x=\sqrt{3}$

 

Ainsi, $$S=\{0\;;\ 1\;;\ \sqrt{3}\}$$

b) $25x^{2}-9=0$

 

On est en présence d'une identité remarquable de la forme $a^{2}-b^{2}$

 

Alors, $25x^{2}-9=(5x)^{2}-3^{2}=(5x-3)(5x+3)$

 

Donc, $25x^{2}-9=0$ si, et seulement si, $$(5x-3)(5x+3)=0$$

Comme c'est un produit de facteurs alors, on  aura :

 

$5x-3=0\quad$ ou $\quad 5x+3=0$

 

Ce qui entraine : $x=\dfrac{3}{5}\quad$ ou $\quad x=-\dfrac{3}{5}$

 

Ainsi, $$S=\left\{-\dfrac{3}{5}\;;\ \dfrac{3}{5}\right\}$$

c) $4x^{2}+1=0$

 

L'équation est équivalente à $(2x)^{2}=-1$ or, un carré n'est jamais négatif.

 

Donc, il n'existe pas de réels vérifiant $4x^{2}+1=0$

 

D'où, $$S=\emptyset$$

d) $(x+3)^{2}-7=0$

 

On a : $(x+3)^{2}-7=0$ si, et seulement si, $(x+3)^{2}=7$

 

Ce qui entraine alors, $\sqrt{(x+3)^{2}}=\sqrt{7}$ or, $\sqrt{(x+3)^{2}}=|x+3|$

 

Donc, $(x+3)^{2}-7=0$ si, et seulement si, $$|x+3|=\sqrt{7}$$

Ainsi on aura : $x+3=\sqrt{7}\quad$ ou $\quad x+3=-\sqrt{7}$

 

Par suite : $x=-3+\sqrt{7}\quad$ ou $\quad x=-3-\sqrt{7}$

 

D'où, $$S=\{-3-\sqrt{7}\;;\ -3+\sqrt{7}\}$$

e) $x^{2}-5+(x+\sqrt{5})(-3x+5\sqrt{5})=0$

 

On remarque que $x^{2}-5=x^{2}-(\sqrt{5})^{2}=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$

 

Ainsi, l'équation $x^{2}-5+(x+\sqrt{5})(-3x+5\sqrt{5})=0$ devient $$(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})+(x+\sqrt{5})(-3x+5\sqrt{5})=0$$

 

En prenant $(x+\sqrt{5})$ comme facteur commun, on aura : $$(x+\sqrt{5})[(x-\sqrt{5})+(-3x+5\sqrt{5})]=0$$

Ce qui est équivalent à : $(x+\sqrt{5})(-2x+4\sqrt{5})=0$

 

Donc, $(x+\sqrt{5})=0\quad$ ou $\quad(-2x+4\sqrt{5})=0$

 

Par suite, $x=-\sqrt{5}\quad$ ou $\quad -2x=-4\sqrt{5}$

 

Ainsi, $x=-\sqrt{5}\quad$ ou $\quad x=2\sqrt{5}$

 

D'où, $$S=\{-\sqrt{5}\;;\ 2\sqrt{5}\}$$