Corrigé Exercice 7 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 7
1) Résolvons dans R chacune des inéquations :
a) (3x+1)(1−4x)≥0
On a : (3x+1)(1−4x)=0 si, et seulement si, 3x+1=0 ou 1−4x=0
C'est-à-dire : x=−13 ou x=14
Par suite :
(3x+1) est positif pour tout x>−13 et négatif pour x<−13.
Dans l'expression (1−4x), on remarque que le coefficient associé à x est négatif.
Donc, (1−4x) est positif pour tout x<14 et négatif pour x>14.
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞−1/31/4+∞3x+1−0+|+1−4x+|+0−(3x+1)(1−4x)−0+0−
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (3x+1)(1−4x) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [−13; 14].
D'où, l'inéquation (3x+1)(1−4x)≥0 a pour solution :S=[−13; 14]
b) (−5x+3)(2x+3)<0
On a : (−5x+3)(2x+3)=0 si, et seulement si, −5x+3=0 ou 2x+3=0
Ce qui donne : x=35 ou x=−32
Ainsi, on a :
(2x+3) est positif pour tout x>−32 et négatif pour x<−32.
Comme dans l'expression (−5x+3), le coefficient associé à x est négatif alors, (−5x+3) est positif pour tout x<35 et négatif pour x>35.
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞−3/23/5+∞−5x+3+|+0−2x+3−0+|+(−5x+3)(2x+3)−0+0−
En observant le tableau, nous constatons que l'expression (−5x+3)(2x+3) est strictement inférieure à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]−∞; −32[∪]35; +∞[.
Par conséquent, l'inéquation (−5x+3)(2x+3)<0 a pour solution :S=]−∞; −32[∪]35; +∞[
2) On donne f(x)=5x2−20+(−3x+6)(4x+3)
a) Factorisons l'expression f(x)
On remarque d'abord que :
5x2−20=5x2−5×4=5(x2−4)=5(x−2)(x+2)
Donc, 5x2−20=5(x−2)(x+2)
Puis, (−3x+6)=−3(x−2)
Alors, en remplaçant 5x2−20 et (−3x+6) respectivement par 5(x−2)(x+2) et −3(x−2), dans l'expression de f(x), on obtient :
f(x)=5(x−2)(x+2)−3(x−2)(4x+3)
Ensuite, en prenant (x−2) comme facteur commun, on trouve :
f(x)=5(x−2)(x+2)−3(x−2)(4x+3)=[(x−2)][5(x+2)−3(4x+3)]=(x−2)(5x+10−12x−9)=(x−2)(−7x+1)
D'où, f(x)=(x−2)(−7x+1)
b) Résolvons dans R l'inéquation f(x)≤0
Pour cela, nous utilisons la forme factorisée de f(x).
D'après le résultat de la question 2)a), on a : f(x)=(x−2)(−7x+1)
Donc, f(x)≤0 si, et seulement si, (x−2)(−7x+1)≤0.
Alors, on a : (x−2)(−7x+1)=0 si, et seulement si, x−2=0 ou −7x+1=0
Ce qui donne : x=2 ou x=17
Par suite :
(x−2) est positif pour tout x>2 et négatif pour x<2.
Dans l'expression (−7x+1), on constate que le coefficient associé à x est négatif.
Donc, (−7x+1) est positif pour tout x<17 et négatif pour x>17.
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞1/72+∞x−2−|−0+−7x+1+0−|−(x−2)(−7x+1)−0+0−
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (x−2)(−7x+1) est inférieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]−∞; 17]∪[2; +∞[.
D'où, l'inéquation f(x)≤0 a pour solution :S=]−∞; 17]∪[2; +∞[
3) Résolvons dans R chacune des inéquations :
a) 6x−1−x+4≥0
l'inéquation 6x−1−x+4≥0 existe si, et seulement si, −x+4≠0.
C'est-à-dire ; x≠4.
Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de 6x−1−x+4.
On a :
6x−1=0⇔6x=1⇔x=16
Donc,
(6x−1) est positif pour tout x>16 et négatif pour x<16.
Comme dans l'expression (−x+4), le coefficient associé à x est négatif alors, (−x+4) est positif pour tout x<4 et négatif pour x>4.
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞1/64+∞6x−1−0+|+−x+4+|+0−6x−1−x+4−0+||−
Ainsi, en observant le tableau, nous remarquons que : pour tout x appartenant à l'intervalle [16; 4[ l'expression 6x−1−x+4 est supérieure ou égale à zéro.
Par conséquent, l'inéquation 6x−1−x+4≥0 a pour solution :S=[16; 4[
b) x−53x−2<3
L'inéquation x−53x−2<3 existe si, et seulement si, 3x−2≠0.
C'est-à-dire ; 3x≠2
Ce qui donne : x≠23
On a :
x−53x−2<3⇔x−53x−2−3<0⇔x−53x−2−3(3x−2)3x−2<0⇔x−53x−2−9x−63x−2<0⇔x−5−9x+63x−2<0⇔−8x+13x−2<0
Donc, l'inéquation x−53x−2<3 est équivalente à l'inéquation −8x+13x−2<0
Ainsi, résoudre l'inéquation x−53x−2<3, revient à résoudre l'inéquation −8x+13x−2<0.
Alors, on a :
−8x+1=0⇔−8x=−1⇔x=−1−8⇔x=18
Comme dans l'expression (−8x+1), le coefficient associé à x est négatif alors, (−8x+1) est positif pour tout x<18 et négatif pour x>18.
(3x−2) est positif pour tout x>23 et négatif pour x<23.
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞1/82/3+∞−8x+1+0−|−3x−2−|−0+−8x+13x−2−0+||−
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression −8x+13x−2 est strictement inférieure à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]−∞; 18[∪]23; +∞[.
Par conséquent, l'inéquation x−53x−2<3 a pour solution :S=]−∞; 18[∪]23; +∞[
c) 3x−2x≥0
L'inéquation 3x−2x≥0 existe si, et seulement si, x≠0.
On a :
3x−2x=0⇔3x−2=0⇔3x=2⇔x=23
Donc, (3x−2) est positif pour tout x>23 et négatif pour x<23.
Considérons alors le tableau de signes suivant :
x−∞02/3+∞3x−2−|−0+x−0+|+3x−2x−||+0−
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression 3x−2x est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]0; 23].
D'où, l'inéquation 3x−2x≥0 a pour solution :S=]0; 23]
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