Corrigé Exercice 7 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

1) Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations : 

 

a) $(3x+1)(1-4x)\geq 0$ 

 

On a : $(3x+1)(1-4x)=0$ si, et seulement si, $3x+1=0\ $ ou $\ 1-4x=0$

 

C'est-à-dire : $x=-\dfrac{1}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{1}{4}$

 

Par suite : 

 

$(3x+1)$ est positif pour tout $x>-\dfrac{1}{3}$ et négatif pour $x<-\dfrac{1}{3}.$

 

Dans l'expression $(1-4x)$, on remarque que le coefficient associé à $x$ est négatif.

 

Donc, $(1-4x)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{4}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{4}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-1/3& &1/4& &+\infty \\ \hline 3x+1& &-&0&+&|&+&\\ \hline 1-4x& &+&|&+&0&-&\\ \hline (3x+1)(1-4x)& &-&0&\boxed{+}&0&-&\\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(3x+1)(1-4x)$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{3}\;;\ \dfrac{1}{4}\right].$ 

 

D'où, l'inéquation $(3x+1)(1-4x)\geq 0$  a pour solution :$$S=\left[-\dfrac{1}{3}\;;\ \dfrac{1}{4}\right]$$

b) $(-5x+3)(2x+3)<0$

 

On a : $(-5x+3)(2x+3)=0$ si, et seulement si, $-5x+3=0\ $ ou $\ 2x+3=0$

 

Ce qui donne : $x=\dfrac{3}{5}\ $ ou $\ x=-\dfrac{3}{2}$

 

Ainsi, on a : 

 

$(2x+3)$ est positif pour tout $x>-\dfrac{3}{2}$ et négatif pour $x<-\dfrac{3}{2}.$

 

Comme dans l'expression $(-5x+3)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-5x+3)$ est positif pour tout $x<\dfrac{3}{5}$ et négatif pour $x>\dfrac{3}{5}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-3/2& &3/5& &+\infty \\ \hline -5x+3& &+&|&+&0&-&\\ \hline 2x+3& &-&0&+&|&+&\\ \hline (-5x+3)(2x+3)& &\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$

En observant le tableau, nous constatons que l'expression $(-5x+3)(2x+3)$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ -\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]\dfrac{3}{5}\;;\ +\infty\right[.$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $(-5x+3)(2x+3)<0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ -\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]\dfrac{3}{5}\;;\ +\infty\right[$$ 

2) On donne $f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)$

 

a) Factorisons l'expression $f(x)$

 

On remarque d'abord que :

 

$\begin{array}{rcl} 5x^{2}-20&=&5x^{2}-5\times 4\\\\&=&5(x^{2}-4)\\\\&=&5(x-2)(x+2)\end{array}$

 

Donc, $5x^{2}-20=5(x-2)(x+2)$

 

Puis, $(-3x+6)=-3(x-2)$

 

Alors, en remplaçant $5x^{2}-20\ $ et $\ (-3x+6)$ respectivement par $5(x-2)(x+2)\ $ et $\ -3(x-2)$, dans l'expression de $f(x)$, on obtient : 

$$f(x)=5(x-2)(x+2)-3(x-2)(4x+3)$$

Ensuite, en prenant $(x-2)$ comme facteur commun, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&5(x-2)(x+2)-3(x-2)(4x+3)\\\\&=&[(x-2)][5(x+2)-3(4x+3)]\\\\&=&(x-2)(5x+10-12x-9)\\\\&=&(x-2)(-7x+1)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=(x-2)(-7x+1)}$

 

b) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x)\leq 0$

 

Pour cela, nous utilisons la forme factorisée de $f(x).$

 

D'après le résultat de la question $2)a)$, on a : $f(x)=(x-2)(-7x+1)$

 

Donc, $f(x)\leq 0$ si, et seulement si, $(x-2)(-7x+1)\leq 0.$

 

Alors, on a : $(x-2)(-7x+1)=0$ si, et seulement si, $x-2=0\ $ ou $\ -7x+1=0$

 

Ce qui donne : $x=2\ $ ou $\ x=\dfrac{1}{7}$

 

Par suite : 

 

$(x-2)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2.$

 

Dans l'expression $(-7x+1)$, on constate que le coefficient associé à $x$ est négatif.

 

Donc, $(-7x+1)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{7}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{7}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &1/7& &2& &+\infty \\ \hline x-2& &-&|&-&0&+&\\ \hline -7x+1& &+&0&-&|&-&\\ \hline (x-2)(-7x+1)& &\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(x-2)(-7x+1)$ est inférieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{7}\right]\cup\left[2\;;\ +\infty\right[.$ 

 

D'où, l'inéquation $f(x)\leq 0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{7}\right]\cup\left[2\;;\ +\infty\right[$$

 

3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations :

 

a) $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$

 

l'inéquation $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$ existe si, et seulement si, $-x+4\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $x\neq 4.$

 

Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{6x-1}{-x+4}.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}6x-1=0&\Leftrightarrow&6x=1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{6}\end{array}$

 

Donc,

 

$(6x-1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{1}{6}$ et négatif pour $x<\dfrac{1}{6}.$

 

Comme dans l'expression $(-x+4)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-x+4)$ est positif pour tout $x<4$ et négatif pour $x>4.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1/6&&4&&+\infty\\\hline 6x-1&&-&0&+&|&+&\\\hline -x+4& &+&|&+&0&-&\\\hline\dfrac{6x-1}{-x+4}&&-&0&\boxed{+}&||&-&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous remarquons que : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{6}\;;\ 4\right[$ l'expression $\dfrac{6x-1}{-x+4}$ est supérieure ou égale à zéro.

 

Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$ a pour solution :$$S=\left[\dfrac{1}{6}\;;\ 4\right[$$

b) $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$

 

L'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ existe si, et seulement si, $3x-2\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $3x\neq 2$

 

Ce qui donne : $x\neq\dfrac{2}{3}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{x-5}{3x-2}<3&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5}{3x-2}-3<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5}{3x-2}-\dfrac{3(3x-2)}{3x-2}<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5}{3x-2}-\dfrac{9x-6}{3x-2}<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5-9x+6}{3x-2}<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0\end{array}$

 

Donc, l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ est équivalente à l'inéquation $\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0$

 

Ainsi, résoudre l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$, revient à résoudre l'inéquation $\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0.$

 

Alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl}-8x+1=0&\Leftrightarrow&-8x=-1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-1}{-8}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{8}\end{array}$

 

Comme dans l'expression $(-8x+1)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-8x+1)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{8}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{8}.$

 

$(3x-2)$ est positif pour tout $x>\dfrac{2}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{2}{3}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1/8&&2/3&&+\infty\\\hline -8x+1&&+&0&-&|&-&\\\hline 3x-2& &-&|&-&0&+&\\\hline\dfrac{-8x+1}{3x-2}&&\boxed{-}&0&+&||&\boxed{-}&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{-8x+1}{3x-2}$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{8}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\;;\ +\infty\right[.$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{8}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\;;\ +\infty\right[$$

c) $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$

 

L'inéquation $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$ existe si, et seulement si, $x\neq 0.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{3x-2}{x}=0&\Leftrightarrow&3x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&3x=2\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{2}{3}\end{array}$

 

Donc, $(3x-2)$ est positif pour tout $x>\dfrac{2}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{2}{3}.$

 

Considérons alors le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&0&&2/3&&+\infty\\\hline 3x-2&&-&|&-&0&+&\\\hline x& &-&0&+&|&+&\\\hline\dfrac{3x-2}{x}&&-&||&\boxed{+}&0&-&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{3x-2}{x}$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]0\;;\ \dfrac{2}{3}\right].$ 

 

D'où, l'inéquation $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]0\;;\ \dfrac{2}{3}\right]$$