Corrigé Exercice 7 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 7

1) Résolvons dans R chacune des inéquations : 
 
a) (3x+1)(14x)0 
 
On a : (3x+1)(14x)=0 si, et seulement si, 3x+1=0  ou  14x=0
 
C'est-à-dire : x=13  ou  x=14
 
Par suite : 
 
(3x+1) est positif pour tout x>13 et négatif pour x<13.
 
Dans l'expression (14x), on remarque que le coefficient associé à x est négatif.
 
Donc, (14x) est positif pour tout x<14 et négatif pour x>14.
 
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1/31/4+3x+10+|+14x+|+0(3x+1)(14x)0+0
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (3x+1)(14x) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [13; 14]. 
 
D'où, l'inéquation (3x+1)(14x)0  a pour solution :S=[13; 14]
b) (5x+3)(2x+3)<0
 
On a : (5x+3)(2x+3)=0 si, et seulement si, 5x+3=0  ou  2x+3=0
 
Ce qui donne : x=35  ou  x=32
 
Ainsi, on a : 
 
(2x+3) est positif pour tout x>32 et négatif pour x<32.
 
Comme dans l'expression (5x+3), le coefficient associé à x est négatif alors, (5x+3) est positif pour tout x<35 et négatif pour x>35.
 
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x3/23/5+5x+3+|+02x+30+|+(5x+3)(2x+3)0+0
En observant le tableau, nous constatons que l'expression (5x+3)(2x+3) est strictement inférieure à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]; 32[]35; +[. 
 
Par conséquent, l'inéquation (5x+3)(2x+3)<0 a pour solution :S=]; 32[]35; +[ 
2) On donne f(x)=5x220+(3x+6)(4x+3)
 
a) Factorisons l'expression f(x)
 
On remarque d'abord que :
 
5x220=5x25×4=5(x24)=5(x2)(x+2)
 
Donc, 5x220=5(x2)(x+2)
 
Puis, (3x+6)=3(x2)
 
Alors, en remplaçant 5x220  et  (3x+6) respectivement par 5(x2)(x+2)  et  3(x2), dans l'expression de f(x), on obtient : 
f(x)=5(x2)(x+2)3(x2)(4x+3)
Ensuite, en prenant (x2) comme facteur commun, on trouve :
 
f(x)=5(x2)(x+2)3(x2)(4x+3)=[(x2)][5(x+2)3(4x+3)]=(x2)(5x+1012x9)=(x2)(7x+1)
 
D'où, f(x)=(x2)(7x+1)
 
b) Résolvons dans R l'inéquation f(x)0
 
Pour cela, nous utilisons la forme factorisée de f(x).
 
D'après le résultat de la question 2)a), on a : f(x)=(x2)(7x+1)
 
Donc, f(x)0 si, et seulement si, (x2)(7x+1)0.
 
Alors, on a : (x2)(7x+1)=0 si, et seulement si, x2=0  ou  7x+1=0
 
Ce qui donne : x=2  ou  x=17
 
Par suite : 
 
(x2) est positif pour tout x>2 et négatif pour x<2.
 
Dans l'expression (7x+1), on constate que le coefficient associé à x est négatif.
 
Donc, (7x+1) est positif pour tout x<17 et négatif pour x>17.
 
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1/72+x2|0+7x+1+0|(x2)(7x+1)0+0
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (x2)(7x+1) est inférieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]; 17][2; +[. 
 
D'où, l'inéquation f(x)0 a pour solution :S=]; 17][2; +[
 
3) Résolvons dans R chacune des inéquations :
 
a) 6x1x+40
 
l'inéquation 6x1x+40 existe si, et seulement si, x+40.
 
C'est-à-dire ; x4.
 
Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de 6x1x+4.
 
On a :
 
6x1=06x=1x=16
 
Donc,
 
(6x1) est positif pour tout x>16 et négatif pour x<16.
 
Comme dans l'expression (x+4), le coefficient associé à x est négatif alors, (x+4) est positif pour tout x<4 et négatif pour x>4.
 
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1/64+6x10+|+x+4+|+06x1x+40+||
Ainsi, en observant le tableau, nous remarquons que : pour tout x appartenant à l'intervalle [16; 4[ l'expression 6x1x+4 est supérieure ou égale à zéro.
 
Par conséquent, l'inéquation 6x1x+40 a pour solution :S=[16; 4[
b) x53x2<3
 
L'inéquation x53x2<3 existe si, et seulement si, 3x20.
 
C'est-à-dire ; 3x2
 
Ce qui donne : x23
 
On a :
 
x53x2<3x53x23<0x53x23(3x2)3x2<0x53x29x63x2<0x59x+63x2<08x+13x2<0
 
Donc, l'inéquation x53x2<3 est équivalente à l'inéquation 8x+13x2<0
 
Ainsi, résoudre l'inéquation x53x2<3, revient à résoudre l'inéquation 8x+13x2<0.
 
Alors, on a :
 
8x+1=08x=1x=18x=18
 
Comme dans l'expression (8x+1), le coefficient associé à x est négatif alors, (8x+1) est positif pour tout x<18 et négatif pour x>18.
 
(3x2) est positif pour tout x>23 et négatif pour x<23.
 
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1/82/3+8x+1+0|3x2|0+8x+13x20+||
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression 8x+13x2 est strictement inférieure à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]; 18[]23; +[. 
 
Par conséquent, l'inéquation x53x2<3 a pour solution :S=]; 18[]23; +[
c) 3x2x0
 
L'inéquation 3x2x0 existe si, et seulement si, x0.
 
On a :
 
3x2x=03x2=03x=2x=23
 
Donc, (3x2) est positif pour tout x>23 et négatif pour x<23.
 
Considérons alors le tableau de signes suivant :
x02/3+3x2|0+x0+|+3x2x||+0
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression 3x2x est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]0; 23]. 
 
D'où, l'inéquation 3x2x0 a pour solution :S=]0; 23]
 
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