Corrigé Exercice 9 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 9
On pose A=2x−3.
1) Calculons A2.
En appliquant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
A2=(2x−3)2=(2x)2−2×3×(2x)+32=4x2−12x+9
Ainsi, A2=4x2−12x+9
2) En déduisons une factorisation de B=4x2−12x+8.
En observant le résultat de la question 1), on peut écrire :
A2=4x2−12x+9=(4x2−12x+8)+1=B+1
Donc, A2=B+1
Par suite, B=A2−1
Ainsi, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables puis, en remplaçant A par son expression, on trouve :
B=A2−1=(A−1)(A+1)=[(2x−3)−1][(2x−3)+1]=(2x−3−1)(2x−3+1)=(2x−4)(2x−2)
D'où, B=(2x−4)(2x−2)
3) Résolvons dans R : B=0 et B≤0.
D'après le résultat de la question 2), on a : B=(2x−4)(2x−2)
Donc, B=0 si, et seulement si, (2x−4)(2x−2)=0
Alors, en résolvant cette équation, on trouve :
(2x−4)(2x−2)=0⇔2x−4=0 ou 2x−2=0⇔2x=4 ou 2x=2⇔x=42 ou x=22⇔x=2 ou x=1
Ainsi, B=0 si, et seulement si, x=2 ou x=1
D'où, l'équation B=0 a pour solution :
S={1; 3}
Par ailleurs : B≤0 si, et seulement si, (2x−4)(2x−2)≤0.
Alors, on a :
(2x−4) est positif pour tout x>2 et négatif pour x<2.
(2x−2) est positif pour tout x>1 et négatif pour x<1.
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞12+∞2x−4−|−0+2x−2−0+|+(2x−4)(2x−2)+0−0+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (2x−4)(2x−2) est inférieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [1; 2]
Par conséquent, l'inéquation B≤0 a pour solution :S=[1; 2]
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