Corrigé Exercice 9 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On pose $A=2x-3.$

 

1) Calculons $A^{2}.$

 

En appliquant la forme développée des identités remarquables, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} A^{2}&=&(2x-3)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}-2\times 3\times(2x)+3^{2}\\\\&=&4x^{2}-12x+9\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{A^{2}=4x^{2}-12x+9}$

 

2) En déduisons une factorisation de $B=4x^{2}-12x+8.$

 

En observant le résultat de la question $1)$, on peut écrire :

 

$\begin{array}{rcl} A^{2}&=&4x^{2}-12x+9\\\\&=&(4x^{2}-12x+8)+1\\\\&=&B+1\end{array}$

 

Donc, $A^{2}=B+1$

 

Par suite, $B=A^{2}-1$

 

Ainsi, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables puis, en remplaçant $A$ par son expression, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&A^{2}-1\\\\&=&(A-1)(A+1)\\\\&=&[(2x-3)-1][(2x-3)+1]\\\\&=&(2x-3-1)(2x-3+1)\\\\&=&(2x-4)(2x-2)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=(2x-4)(2x-2)}$

 

3) Résolvons dans $\mathbb{R}\ :\ B=0\ $ et $\ B\leq 0.$

 

D'après le résultat de la question $2)$, on a : $B=(2x-4)(2x-2)$

 

Donc, $B=0$ si, et seulement si, $(2x-4)(2x-2)=0$

 

Alors, en résolvant cette équation, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} (2x-4)(2x-2)=0&\Leftrightarrow&2x-4=0\ \text{ ou }\ 2x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=4\ \text{ ou }\ 2x=2\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{4}{2}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{2}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=2\ \text{ ou }\ x=1\end{array}$

 

Ainsi, $B=0$ si, et seulement si, $x=2\ $ ou $\ x=1$

 

D'où, l'équation $B=0$ a pour solution :

$$S=\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace$$

Par ailleurs : $B\leq 0$ si, et seulement si, $(2x-4)(2x-2)\leq 0.$

 

Alors, on a :

 

$(2x-4)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2.$

 

$(2x-2)$ est positif pour tout $x>1$ et négatif pour $x<1.$

 

En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1&&2&&+\infty\\\hline 2x-4&&-&|&-&0&+&\\\hline 2x-2& &-&0&+&|&+&\\\hline (2x-4)(2x-2)&&+&0&\boxed{-}&0&+&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(2x-4)(2x-2)$ est inférieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[1\;;\ 2\right]$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $B\leq 0$ a pour solution :$$S=\left[1\;;\ 2\right]$$