Corrigé Exercice 9 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 9

On pose A=2x3.
 
1) Calculons A2.
 
En appliquant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
 
A2=(2x3)2=(2x)22×3×(2x)+32=4x212x+9
 
Ainsi, A2=4x212x+9
 
2) En déduisons une factorisation de B=4x212x+8.
 
En observant le résultat de la question 1), on peut écrire :
 
A2=4x212x+9=(4x212x+8)+1=B+1
 
Donc, A2=B+1
 
Par suite, B=A21
 
Ainsi, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables puis, en remplaçant A par son expression, on trouve :
 
B=A21=(A1)(A+1)=[(2x3)1][(2x3)+1]=(2x31)(2x3+1)=(2x4)(2x2)
 
D'où, B=(2x4)(2x2)
 
3) Résolvons dans R : B=0  et  B0.
 
D'après le résultat de la question 2), on a : B=(2x4)(2x2)
 
Donc, B=0 si, et seulement si, (2x4)(2x2)=0
 
Alors, en résolvant cette équation, on trouve :
 
(2x4)(2x2)=02x4=0  ou  2x2=02x=4  ou  2x=2x=42  ou  x=22x=2  ou  x=1
 
Ainsi, B=0 si, et seulement si, x=2  ou  x=1
 
D'où, l'équation B=0 a pour solution :
S={1; 3}
Par ailleurs : B0 si, et seulement si, (2x4)(2x2)0.
 
Alors, on a :
 
(2x4) est positif pour tout x>2 et négatif pour x<2.
 
(2x2) est positif pour tout x>1 et négatif pour x<1.
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x12+2x4|0+2x20+|+(2x4)(2x2)+00+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (2x4)(2x2) est inférieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [1; 2] 
 
Par conséquent, l'inéquation B0 a pour solution :S=[1; 2]
 
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