Corrigé Exercice 11 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 11
On donne les expressions suivantes :
f(x)=(3x−5)2−(2x−1)2 et g(x)=x2+(2x+1)(5−x)−25
1) Développons, réduisons et ordonnons f(x) et g(x) suivant les puissances décroissantes de x.
Soit : f(x)=(3x−5)2−(2x−1)2
Alors, en développant, on obtient :
f(x)=(3x−5)2−(2x−1)2=(3x)2−2×5×3x+(5)2−[(2x)2−2×1×2x+(1)2]=9x2−30x+25−(4x2−4x+1)=9x2−30x+25−4x2+4x−1=9x2−4x2+4x−30x+25−1=5x2−26x+24
D'où, f(x)=5x2−26x+24
Soit : g(x)=x2+(2x+1)(5−x)−25
Alors, en développant, on obtient :
g(x)=x2+(2x+1)(5−x)−25=x2+10x−2x2+5−x−25=x2−2x2+10x−x+5−25=−x2+9x−20
D'où, g(x)=−x2+9x−20
2) Factorisons f(x) et g(x).
Soit : f(x)=(3x−5)2−(2x−1)2
Alors, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :
f(x)=(3x−5)2−(2x−1)2=[(3x−5)−(2x−1)][(3x−5)+(2x−1)]=(3x−5−2x+1)(3x−5+2x−1)=(x−4)(5x−6)
Ainsi, f(x)=(x−4)(5x−6)
Soit : g(x)=x2+(2x+1)(5−x)−25
Alors, g(x) peut encore s'écrire : g(x)=x2−25+(2x+1)(5−x)
Or, x2−25=x2−52=(x−5)(x+5)
Donc, dans l'expression de g(x), en remplaçant x2−25 par (x−5)(x+5), on obtient :
g(x)=(x−5)(x+5)+(2x+1)(5−x)=−(5−x)(x+5)+(2x+1)(5−x)
En prenant (5−x) comme facteur commun, on trouve :
g(x)=−(5−x)(x+5)+(2x+1)(5−x)=[5−x][−(x+5)+(2x+1)]=(5−x)(−x−5+2x+1)=(5−x)(x−4)
D'où, g(x)=(5−x)(x−4)
3) Résolvons dans R les équations suivantes :
a) f(x)=g(x)
On a : f(x)=g(x) si, et seulement si, f(x)−g(x)=0
Donc, en considérant les formes factorisées de f(x) et g(x), nous allons résoudre l'équation f(x)−g(x)=0.
On a :
f(x)−g(x)=0⇔(x−4)(5x−6)−(5−x)(x−4)=0⇔[x−4][(5x−6)−(5−x)]=0⇔(x−4)(5x−6−5+x)=0⇔(x−4)(6x−11)=0⇔(x−4)=0 ou (6x−11)=0⇔x=4 ou 6x=11⇔x=4 ou x=116
Donc, f(x)−g(x)=0 si, et seulement si, x=4 ou x=116.
D'où, l'équation f(x)=g(x) a pour solution :
S={116; 4}
b) f(x)=24
On a : f(x)=24 si, et seulement si, f(x)−24=0
Considérons alors la forme développée de f(x) et résolvons l'équation f(x)−24=0.
On a :
f(x)−24=0⇔5x2−25x+24−24=0⇔5x2−25x=0⇔x(5x−25)=0⇔x=0 ou (5x−25)=0⇔x=0 ou 5x=25⇔x=0 ou x=255⇔x=0 ou x=5
Alors, f(x)−24=0 si, et seulement si, x=0 ou x=5.
Donc, l'équation f(x)=24 a pour solution :
S={0; 5}
4) On pose : q(x)=f(x)g(x)
a) Déterminons les valeurs de x pour lesquelles le quotient est défini
En effet, le quotient est défini si, et seulement si, son dénominateur g(x) est différent de zéro.
Alors, en considérant la forme factorisée de g(x), on obtient :
g(x)≠0 si, et seulement si, (5−x)(x−4)≠0.
Or, (5−x)(x−4) est un produit de facteurs.
Donc, (5−x)(x−4)≠0 si, et seulement si, chaque facteur est différent de zéro.
C'est-à-dire ; 5−x≠0 et x−4≠0
Ce qui donne : x≠5 et x≠4
Ainsi, le quotient est défini pour tout x différent de 4 et 5.
b) Simplifions q(x) quand ce quotient existe.
En utilisant les formes factorisées de f(x) et g(x), on a :
q(x)=f(x)g(x)=(x−4)(5x−6)(5−x)(x−4)
En simplifiant par (x−4), on obtient : q(x)=(5x−6)(5−x)
D'où, q(x)=5x−65−x
c) Calculons q(√3). On mettra ce nombre sous la forme a+b√3.
Dans l'expression simplifiée de q(x), remplaçons x par √3 puis, calculons.
On a :
q(√3)=5√3−65−√3=(5√3−6)(5+√3)(5−√3)(5+√3)=25√3+15−30−6√3(5)2−(√3)2=19√3−1525−3=19√3−1522=1922√3−1522
D'où, q(√3)=−1522+1922√3
d) Résolvons dans R, |q(x)|=2
En utilisant l'expression simplifiée de q(x), on a : |q(x)|=2 si, et seulement si, |5x−65−x|=2
Alors, en résolvant cette équation, on trouve :
|5x−65−x|=2⇔5x−65−x=2 ou 5x−65−x=−2⇔5x−6=2×(5−x) ou 5x−6=−2×(5−x)⇔5x−6=10−2x ou 5x−6=−10+2x⇔5x+2x=10+6 ou 5x−2x=−10+6⇔7x=16 ou 3x=−4⇔x=167 ou x=−43
Donc, |5x−65−x|=2 si, et seulement si, x=−43 ou x=167.
D'où, l'équation |q(x)|=2 a pour solution : S={−43; 167}
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