Corrigé Exercice 12 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On donne : $A(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}\ $ et $\ B(x)=4(x-1)^{2}-2A(x)$

 

1) Calculons $2A(x)$ puis, en déduisons une factorisation de $A(x)$

 

$-\ $ Calcul de $2A(x)$

 

En multipliant $A(x)$ par le nombre $2$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} 2\times A(x)&=&2\times\left(\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}\right)\\\\&=&2\times\dfrac{1}{2}x^{2}+2\times x+2\times\dfrac{1}{2}\\\\&=&x^{2}+2x+1\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{2A(x)=x^{2}+2x+1}$

 

$-\ $ Factorisation de $A(x)$

 

En observant l'expression de $2A(x)$, on reconnait une forme développée d'une identité remarquable.

 

Alors, en utilisant la forme factorisée, on obtient :

 

$2A(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$

 

Par suite, $A(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{2}$

 

D'où, $\boxed{A(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^{2}}$

 

2) Développons réduisons et ordonnons $B(x)$

 

Soit : $B(x)=4(x-1)^{2}-2A(x)$

 

Alors, en remplaçant $2A(x)$ par son expression, on trouve :

 

$B(x)=4(x-1)^{2}-(x^{2}+2x+1)$

 

En développant cette expression de $B(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&4(x-1)^{2}-(x^{2}+2x+1)\\\\&=&4(x^{2}-2x+1)-x^{2}-2x-1\\\\&=&4x^{2}-8x+4-x^{2}-2x-1\\\\&=&4x^{2}-x^{2}-8x-2x+4-1\\\\&=&3x^{2}-10x+3\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B(x)=3x^{2}-10x+3}$

 

3) On considère la fraction rationnelle $Q(x)=\dfrac{(3x-1)(x-3)}{(x+1)(2x-6)}$

 

a) Déterminons la condition d'existence de $Q(x)$

 

$Q(x)$ existe si, et seulement si, $(x+1)(2x-6)\neq 0$

 

Or, $(x+1)(2x-6)$ est un produit de facteurs.

 

Donc, $(x+1)(2x-6)\neq 0$ si, et seulement si, chaque facteur est différent de zéro.

 

C'est-à-dire ; $x+1\neq 0\ $ et $\ 2x-6\neq 0$

 

Ce qui donne : $x\neq -1\ $ et $\ x\neq\dfrac{6}{2}=3$

 

Par conséquent, $Q(x)$ existe lorsque $x$ est différent de $-1\ $ et $\ 3.$

 

b) Simplifions $Q(x)$

 

On a : $Q(x)=\dfrac{(3x-1)(x-3)}{(x+1)(2x-6)}=\dfrac{(3x-1)(x-3)}{2(x+1)(x-3)}$

 

Donc, en simplifiant par $(x-3)$, on obtient : $Q(x)=\dfrac{(3x-1)}{2(x+1)}$

 

D'où, $\boxed{Q(x)=\dfrac{3x-1}{2x+2}}$

 

4) Résolvons dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

     

a) $A(x)=\dfrac{1}{2}$

 

Soit : $A(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}.$

 

Alors, on a :

 

$\begin{array}{rcl} A(x)=\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}x^{2}+x=0\\\\&\Leftrightarrow&x\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ \dfrac{1}{2}x+1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ \dfrac{1}{2}x=-1\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=-2\end{array}$

 

D'où, l'équation $A(x)=\dfrac{1}{2}$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -2\;;\ 0\right\rbrace$$

 

b) $Q(x)=1$

 

Soit : $Q(x)=\dfrac{3x-1}{2x+2}.$

 

Alors, en résolvant l'équation $Q(x)=1$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} Q(x)=1&\Leftrightarrow&\dfrac{3x-1}{2x+2}=1\\\\&\Leftrightarrow&3x-1=2x+2\\\\&\Leftrightarrow&3x-2x=2+1\\\\&\Leftrightarrow&x=3\end{array}$

 

Donc, $Q(x)=1$ si, et seulement si, $x=3.$

 

Mais, on sait que si, $x=3$ alors, $Q(x)$ n'existe pas.

 

Par conséquent, l'équation $Q(x)=1$ n'admet pas de solutions.

 

D'où,

$$S=\emptyset$$

c) $\dfrac{3x-1}{2x+2}=0$

 

On sait qu'une fraction rationnelle est nulle si, et seulement si, son numérateur est nul.

 

Donc, 

 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{3x-1}{2x+2}=0&\Leftrightarrow&3x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&3x=1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{3}\end{array}$

 

Ainsi, l'équation $\dfrac{3x-1}{2x+2}=0$ a pour solution : $$S=\left\lbrace \dfrac{1}{3}\right\rbrace$$