Corrigé Exercice 14 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On donne les expressions suivantes :

$$f(x)=(2x-7)(3-4x)+(4x-14)(3x-2)\ \text{ et }\ g(x)=9(-x+1)^{2}-(x+4)^{2}$$

1) Développons, réduisons et ordonnons $g(x)$

 

En utilisant la forme développée des identités remarquables, on a :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&9(-x+1)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&9((-x)^{2}+2\times 1\times(-x)+1^{2})-(x^{2}+2\times 4\times x+4^{2})\\\\&=&9(x^{2}-2x+1)-(x^{2}+8x+16)\\\\&=&9x^{2}-18x+9-x^{2}-8x-16\\\\&=&9x^{2}-x^{2}-18x-8x+9-16\\\\&=&8x^{2}-26x-7\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=8x^{2}-26x-7}$

 

2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x)$

 

Soit : $f(x)=(2x-7)(3-4x)+(4x-14)(3x-2)=(2x-7)(3-4x)+2(2x-7)(3x-2)$

 

On reconnait alors un facteur commun ; $(2x-7).$

 

Donc, en factorisant par $(2x-7)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-7)(3-4x)+2(2x-7)(3x-2)\\\\&=&[2x-7][(3-4x)+2(3x-2)]\\\\&=&(2x-7)(3-4x+6x-4)\\\\&=&(2x-7)(2x-1)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{f(x)=(2x-7)(2x-1)}$

 

Soit : $g(x)=9(-x+1)^{2}-(x+4)^{2}=(3(-x+1))^{2}-(x+4)^{2}.$

 

Alors, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(3(-x+1))^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&[3(-x+1)-(x+4)][(3(-x+1)+(x+4)]\\\\&=&(-3x+3-x-4)(-3x+3+x+4)\\\\&=&(-4x-1)(-2x+7)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{g(x)=(-4x-1)(-2x+7)}$

 

3) On pose : $H(x)=\dfrac{(2x-7)(2x-1)}{(-4x-1)(-2x+7)}$

 

a) Donnons la condition d'existence de $H(x)$

 

$H(x)$ existe si, et seulement si, $(-4x-1)(-2x+7)\neq 0.$

 

On a : $(-4x-1)(-2x+7)\neq 0$ si, et seulement si, $(-4x-1)\neq 0\ $ et $\ (-2x+7)\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $-4x\neq 1\ $ et $\ -2x\neq -7.$

 

Ce qui donne : $x\neq -\dfrac{1}{4}\ $ et $\ x\neq\dfrac{7}{2}.$

 

Ainsi, $H(x)$ existe pour tout $x$ différent de $-\dfrac{1}{4}\ $ et $\ \dfrac{7}{2}.$

 

b) Simplifions $H(x)$

 

On a : $H(x)=\dfrac{(2x-7)(2x-1)}{(-4x-1)(-2x+7)}=\dfrac{(2x-7)(2x-1)}{-(-4x-1)(2x-7)}$

 

Alors, en simplifiant par $(2x-7)$, on trouve : $H(x)=\dfrac{(2x-1)}{-(-4x-1)}$

 

D'où, $\boxed{H(x)=\dfrac{2x-1}{4x+1}}$

 

4) Résolvons dans $\mathbb{R}$ : $-9x^{2}+25=0\;;\  |H(x)|=\dfrac{13}{6}\ $ et $\ (-4x-1)(-2x+7)<0$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} -9x^{2}+25=0&\Leftrightarrow&25-9x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&5^{2}-(3x)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&(5-3x)(5+3x)=0\\\\&\Leftrightarrow&(5-3x)=0\ \text{ ou }\ (5+3x)=0\\\\&\Leftrightarrow&-3x=-5\ \text{ ou }\ 3x=-5\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-5}{-3}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-5}{3}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{5}{3}\ \text{ ou }\ x=-\dfrac{5}{3}\end{array}$

 

Donc, l'équation $-9x^{2}+25=0$ a pour solution :

$$S=\left\lbrace -\dfrac{5}{3}\;;\ \dfrac{5}{3}\right\rbrace$$

En considérant la forme simplifiée de $H(x)$, on a : $|H(x)|=\dfrac{13}{6}$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{2x-1}{4x+1}\right|=\dfrac{13}{6}.$

 

Alors, en utilisant les propriétés de la valeur absolue, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{2x-1}{4x+1}\right|=\dfrac{13}{6}&\Leftrightarrow&\dfrac{2x-1}{4x+1}=\dfrac{13}{6}\ \text{ ou }\ \dfrac{2x-1}{4x+1}=-\dfrac{13}{6}\\\\&\Leftrightarrow&6(2x-1)=13(4x+1)\ \text{ ou }\ 6(2x-1)=-13(4x+1)\\\\&\Leftrightarrow&12x-6=52x+13\ \text{ ou }\ 12x-6=-52x-13\\\\&\Leftrightarrow&12x-52x=13+6\ \text{ ou }\ 12x+52x=-13+6\\\\&\Leftrightarrow&-40x=19\ \text{ ou }\ 64x=-7\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{19}{-40}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-7}{64}\end{array}$

 

D'où, l'équation $|H(x)|=\dfrac{13}{6}$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -\dfrac{19}{40}\;;\ -\dfrac{7}{64}\right\rbrace$$

 

Soit à résoudre l'inéquation $(-4x-1)(-2x+7)<0.$

 

On a : $(-4x-1)(-2x+7)=0$ si, et seulement si, $(-4x-1)=0\ $ ou $\ (-2x+7)=0.$

 

Ce qui donne : $x=-\dfrac{1}{4}\ $ ou $\ x=\dfrac{7}{2}.$

 

On constate, dans les expressions $(-4x-1)\ $ et $\ (-2x+7)$, que les coefficients associé à $x$ sont négatifs.

 

Donc,

 

$(-4x-1)$ est positif pour tout $x<-\dfrac{1}{4}$ et négatif pour $x>-\dfrac{1}{4}$

 

$(-2x+7)$ est positif pour tout $x<\dfrac{7}{2}$ et négatif pour $x>\dfrac{7}{2}$

 

En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-1/4&&7/2&&+\infty\\\hline -4x-1&&+&0&-&|&-&\\\hline -2x+7& &+&|&+&0&-&\\\hline (-4x-1)(-2x+7)&&+&0&\boxed{-}&0&+&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(-4x-1)(-2x+7)$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{4}\;;\ \dfrac{7}{2}\right[.$ 

 

D'où, l'inéquation $(-4x-1)(-2x+7)<0$ a pour solution : $$S=\left]-\dfrac{1}{4}\;;\ \dfrac{7}{2}\right[$$