Corrigé Exercice 17 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On donne : $f(x)=ax^{2}-10x+1\ $ et $\ g(x)=(10x-2)(x+3).$

 

1) Déterminons le réel $a$ tel que $f(1)=16.$

 

Remplaçons d'abord $x$ par $1$ pour calculer $f(1).$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} f(1)&=&a\times 1^{2}-10\times 1+1\\\\&=&a-10+1\\\\&=&a-9\end{array}$

 

Donc, $\boxed{f(1)=a-9}$

 

Puis, en résolvant l'équation $f(1)=16$, on trouve la valeur de $a.$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} f(1)=16&\Leftrightarrow&a-9=16\\\\&\Leftrightarrow&a=16+9\\\\&\Leftrightarrow&a=25\end{array}$

 

D'où, $\boxed{a=25}$

 

En déduisons une factorisation de $f(x).$

 

En effet, dans l'expression de $f(x)$, en remplaçant $a$ par sa valeur ; $25$, on obtient :

$$f(x)=25x^{2}-10x+1$$

Alors, factorisons en utilisant une forme factorisée des identités remarquables.

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&25x^{2}-10x+1\\\\&=&(5x)^{2}-10x+1\\\\&=&(5x-1)^{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{(5x-1)^{2}}$

 

2) On pose : $P(x)=g(x)-f(x)$

 

a) Factorisons $P(x)$

 

En remplaçant $f(x)\ $ et $\ g(x)$ par leur forme factorisée, on a :

$$P(x)=(10x-2)(x+3)-(5x-1)^{2}=2(5x-1)(x+3)-(5x-1)^{2}$$

En prenant $(5x-1)$ comme facteur commun, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} P(x)&=&2(5x-1)(x+3)-(5x-1)^{2}\\\\&=&[5x-1][2(x+3)-(5x-1)]\\\\&=&(5x-1)(2x+6-5x+1)\\\\&=&(5x-1)(-3x+7)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{P(x)=(5x-1)(-3x+7)}$

 

b) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $P(x)=0.$

 

En utilisant la forme factorisée de $P(x)$, on a :

 

$P(x)=0$ si, et seulement si, $(5x-1)(-3x+7)=0$

 

Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

 

Donc, $(5x-1)(-3x+7)=0$ si, et seulement si, $(5x-1)=0\ $ ou $\ (-3x+7)=0.$

 

C'est-à-dire ; $5x=1\ $ ou $\ -3x=-7.$

 

Ce qui donne : $x=\dfrac{1}{5}\ $ ou $\ x=\dfrac{-7}{-3}=\dfrac{7}{3}.$

 

Donc, les valeurs de $x$ pour lesquelles $P(x)=0$ sont :

$$\left\lbrace\dfrac{1}{5}\;;\ \dfrac{7}{3}\right\rbrace$$

c) Résolvons l'inéquation $(5x-1)(-3x+7)\geq 0$

 

En effet :

 

$(5x-1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{1}{5}$ et négatif pour $x<\dfrac{1}{5}$

 

Comme dans l'expression $(-3x+7)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors,  $(-3x+7)$ est positif pour tout $x<\dfrac{7}{3}$ et négatif pour $x>\dfrac{7}{3}$

 

En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &1/5& &7/3& &+\infty \\ \hline 5x-1& &-&0&+&|&+&\\ \hline -3x+7& &+&|&+&0&-&\\ \hline (5x-1)(-3x+7)& &-&0&\boxed{+}&0&-&\\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(5x-1)(-3x+7)$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{5}\;;\ \dfrac{7}{3}\right].$ 

 

D'où, l'inéquation $(5x-1)(-3x+7)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left[\dfrac{1}{5}\;;\ \dfrac{7}{3}\right]$$

3) Soit : $q(x)=\dfrac{(5x-1)^{2}}{(-1+5x)(-3x+7)}$

 

a) Déterminons les réels pour lesquels $q(x)$ existe puis, simplifions $q(x).$

 

$q(x)$ existe si, et seulement si, son dénominateur est différent de zéro.

 

Ce qui signifie : $(-1+5x)(-3x+7)\neq 0$

 

Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, chaque facteur est non nul.

 

Donc, $(-1+5x)(-3x+7)\neq 0$ si, et seulement si, $(-1+5x)\neq 0\ $ et $\ (-3x+7)\neq 0$

 

Ce qui donne alors : $x\neq\dfrac{1}{5}\ $ et $\ x\neq\dfrac{7}{3}.$

 

Donc, $q(x)$ existe pour tout $x$ différent de $\dfrac{1}{5}\ $ et $\ \dfrac{7}{3}.$

 

On a :

 

$q(x)=\dfrac{(5x-1)^{2}}{(-1+5x)(-3x+7)}=\dfrac{(5x-1)(5x-1)}{(5x-1)(-3x+7)}$

 

Donc, en simplifiant par $(5x-1)$, on trouve : $q(x)=\dfrac{(5x-1)}{(-3x+7)}$

 

D'où, $\boxed{q(x)=\dfrac{5x-1}{-3x+7}}$

 

b) Résolvons $q(x)=0$ puis, $|q(x)|=1.$

 

Considérons la forme simplifiée de $q(x)$

 

En effet, une fraction rationnelle est nulle si, et seulement si, son numérateur est nul.

 

Donc, $q(x)=0$ si, et seulement si, $5x-1=0$

 

C'est-à-dire ; $x=\dfrac{1}{5}$

 

Or, on sait que si, $x=\dfrac{1}{5}$ alors, $q(x)$ n'existe pas.

 

Par conséquent, l'équation $q(x)=0$ n'admet pas de solutions.

 

D'où,

$$S=\emptyset$$

Soit : $q(x)=\dfrac{5x-1}{-3x+7}$

 

Alors, $|q(x)|=\left|\dfrac{5x-1}{-3x+7}\right|$

 

Or, on sait que $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ avec $b\neq 0$

 

Donc, $\left|\dfrac{5x-1}{-3x+7}\right|=\dfrac{|5x-1|}{|-3x+7|}$

 

Ainsi, on a :

 

$\begin{array}{rcl} |q(x)|=1&\Leftrightarrow&\left|\dfrac{5x-1}{-3x+7}\right|=1\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{|5x-1|}{|-3x+7|}=1\\\\&\Leftrightarrow&|5x-1|=|-3x+7|\\\\&\Leftrightarrow&5x-1=-3x+7\ \text{ ou }\ 5x-1=-(-3x+7)\\\\&\Leftrightarrow&5x-1=-3x+7\ \text{ ou }\ 5x-1=3x-7\\\\&\Leftrightarrow&5x+3x=7+1\ \text{ ou }\ 5x-3x=-7+1\\\\&\Leftrightarrow&8x=8\ \text{ ou }\ 2x=-6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{8}{8}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-6}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=-3\end{array}$

 

D'où, l'équation $|q(x)|=1$ a pour solution : $$S=\left\lbrace 1\;;\ -3\right\rbrace$$