Corrigé Exercice 17 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 17

On donne : f(x)=ax210x+1  et  g(x)=(10x2)(x+3).
 
1) Déterminons le réel a tel que f(1)=16.
 
Remplaçons d'abord x par 1 pour calculer f(1).
 
On a :
 
f(1)=a×1210×1+1=a10+1=a9
 
Donc, f(1)=a9
 
Puis, en résolvant l'équation f(1)=16, on trouve la valeur de a.
 
Soit :
 
f(1)=16a9=16a=16+9a=25
 
D'où, a=25
 
En déduisons une factorisation de f(x).
 
En effet, dans l'expression de f(x), en remplaçant a par sa valeur ; 25, on obtient :
f(x)=25x210x+1
Alors, factorisons en utilisant une forme factorisée des identités remarquables.
 
f(x)=25x210x+1=(5x)210x+1=(5x1)2
 
Ainsi, (5x1)2
 
2) On pose : P(x)=g(x)f(x)
 
a) Factorisons P(x)
 
En remplaçant f(x)  et  g(x) par leur forme factorisée, on a :
P(x)=(10x2)(x+3)(5x1)2=2(5x1)(x+3)(5x1)2
En prenant (5x1) comme facteur commun, on trouve :
 
P(x)=2(5x1)(x+3)(5x1)2=[5x1][2(x+3)(5x1)]=(5x1)(2x+65x+1)=(5x1)(3x+7)
 
D'où, P(x)=(5x1)(3x+7)
 
b) Déterminons les valeurs de x pour lesquelles on a P(x)=0.
 
En utilisant la forme factorisée de P(x), on a :
 
P(x)=0 si, et seulement si, (5x1)(3x+7)=0
 
Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
 
Donc, (5x1)(3x+7)=0 si, et seulement si, (5x1)=0  ou  (3x+7)=0.
 
C'est-à-dire ; 5x=1  ou  3x=7.
 
Ce qui donne : x=15  ou  x=73=73.
 
Donc, les valeurs de x pour lesquelles P(x)=0 sont :
{15; 73}
c) Résolvons l'inéquation (5x1)(3x+7)0
 
En effet :
 
(5x1) est positif pour tout x>15 et négatif pour x<15
 
Comme dans l'expression (3x+7), le coefficient associé à x est négatif alors,  (3x+7) est positif pour tout x<73 et négatif pour x>73
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1/57/3+5x10+|+3x+7+|+0(5x1)(3x+7)0+0
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (5x1)(3x+7) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [15; 73]. 
 
D'où, l'inéquation (5x1)(3x+7)0 a pour solution :S=[15; 73]
3) Soit : q(x)=(5x1)2(1+5x)(3x+7)
 
a) Déterminons les réels pour lesquels q(x) existe puis, simplifions q(x).
 
q(x) existe si, et seulement si, son dénominateur est différent de zéro.
 
Ce qui signifie : (1+5x)(3x+7)0
 
Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, chaque facteur est non nul.
 
Donc, (1+5x)(3x+7)0 si, et seulement si, (1+5x)0  et  (3x+7)0
 
Ce qui donne alors : x15  et  x73.
 
Donc, q(x) existe pour tout x différent de 15  et  73.
 
On a :
 
q(x)=(5x1)2(1+5x)(3x+7)=(5x1)(5x1)(5x1)(3x+7)
 
Donc, en simplifiant par (5x1), on trouve : q(x)=(5x1)(3x+7)
 
D'où, q(x)=5x13x+7
 
b) Résolvons q(x)=0 puis, |q(x)|=1.
 
Considérons la forme simplifiée de q(x)
 
En effet, une fraction rationnelle est nulle si, et seulement si, son numérateur est nul.
 
Donc, q(x)=0 si, et seulement si, 5x1=0
 
C'est-à-dire ; x=15
 
Or, on sait que si, x=15 alors, q(x) n'existe pas.
 
Par conséquent, l'équation q(x)=0 n'admet pas de solutions.
 
D'où,
S=
Soit : q(x)=5x13x+7
 
Alors, |q(x)|=|5x13x+7|
 
Or, on sait que |ab|=|a||b| avec b0
 
Donc, |5x13x+7|=|5x1||3x+7|
 
Ainsi, on a :
 
|q(x)|=1|5x13x+7|=1|5x1||3x+7|=1|5x1|=|3x+7|5x1=3x+7  ou  5x1=(3x+7)5x1=3x+7  ou  5x1=3x75x+3x=7+1  ou  5x3x=7+18x=8  ou  2x=6x=88  ou  x=62x=1  ou  x=3
 
D'où, l'équation |q(x)|=1 a pour solution : S={1; 3}
 
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