Corrigé Exercice 17 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 17
On donne : f(x)=ax2−10x+1 et g(x)=(10x−2)(x+3).
1) Déterminons le réel a tel que f(1)=16.
Remplaçons d'abord x par 1 pour calculer f(1).
On a :
f(1)=a×12−10×1+1=a−10+1=a−9
Donc, f(1)=a−9
Puis, en résolvant l'équation f(1)=16, on trouve la valeur de a.
Soit :
f(1)=16⇔a−9=16⇔a=16+9⇔a=25
D'où, a=25
En déduisons une factorisation de f(x).
En effet, dans l'expression de f(x), en remplaçant a par sa valeur ; 25, on obtient :
f(x)=25x2−10x+1
Alors, factorisons en utilisant une forme factorisée des identités remarquables.
f(x)=25x2−10x+1=(5x)2−10x+1=(5x−1)2
Ainsi, (5x−1)2
2) On pose : P(x)=g(x)−f(x)
a) Factorisons P(x)
En remplaçant f(x) et g(x) par leur forme factorisée, on a :
P(x)=(10x−2)(x+3)−(5x−1)2=2(5x−1)(x+3)−(5x−1)2
En prenant (5x−1) comme facteur commun, on trouve :
P(x)=2(5x−1)(x+3)−(5x−1)2=[5x−1][2(x+3)−(5x−1)]=(5x−1)(2x+6−5x+1)=(5x−1)(−3x+7)
D'où, P(x)=(5x−1)(−3x+7)
b) Déterminons les valeurs de x pour lesquelles on a P(x)=0.
En utilisant la forme factorisée de P(x), on a :
P(x)=0 si, et seulement si, (5x−1)(−3x+7)=0
Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Donc, (5x−1)(−3x+7)=0 si, et seulement si, (5x−1)=0 ou (−3x+7)=0.
C'est-à-dire ; 5x=1 ou −3x=−7.
Ce qui donne : x=15 ou x=−7−3=73.
Donc, les valeurs de x pour lesquelles P(x)=0 sont :
{15; 73}
c) Résolvons l'inéquation (5x−1)(−3x+7)≥0
En effet :
(5x−1) est positif pour tout x>15 et négatif pour x<15
Comme dans l'expression (−3x+7), le coefficient associé à x est négatif alors, (−3x+7) est positif pour tout x<73 et négatif pour x>73
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞1/57/3+∞5x−1−0+|+−3x+7+|+0−(5x−1)(−3x+7)−0+0−
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (5x−1)(−3x+7) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [15; 73].
D'où, l'inéquation (5x−1)(−3x+7)≥0 a pour solution :S=[15; 73]
3) Soit : q(x)=(5x−1)2(−1+5x)(−3x+7)
a) Déterminons les réels pour lesquels q(x) existe puis, simplifions q(x).
q(x) existe si, et seulement si, son dénominateur est différent de zéro.
Ce qui signifie : (−1+5x)(−3x+7)≠0
Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, chaque facteur est non nul.
Donc, (−1+5x)(−3x+7)≠0 si, et seulement si, (−1+5x)≠0 et (−3x+7)≠0
Ce qui donne alors : x≠15 et x≠73.
Donc, q(x) existe pour tout x différent de 15 et 73.
On a :
q(x)=(5x−1)2(−1+5x)(−3x+7)=(5x−1)(5x−1)(5x−1)(−3x+7)
Donc, en simplifiant par (5x−1), on trouve : q(x)=(5x−1)(−3x+7)
D'où, q(x)=5x−1−3x+7
b) Résolvons q(x)=0 puis, |q(x)|=1.
Considérons la forme simplifiée de q(x)
En effet, une fraction rationnelle est nulle si, et seulement si, son numérateur est nul.
Donc, q(x)=0 si, et seulement si, 5x−1=0
C'est-à-dire ; x=15
Or, on sait que si, x=15 alors, q(x) n'existe pas.
Par conséquent, l'équation q(x)=0 n'admet pas de solutions.
D'où,
S=∅
Soit : q(x)=5x−1−3x+7
Alors, |q(x)|=|5x−1−3x+7|
Or, on sait que |ab|=|a||b| avec b≠0
Donc, |5x−1−3x+7|=|5x−1||−3x+7|
Ainsi, on a :
|q(x)|=1⇔|5x−1−3x+7|=1⇔|5x−1||−3x+7|=1⇔|5x−1|=|−3x+7|⇔5x−1=−3x+7 ou 5x−1=−(−3x+7)⇔5x−1=−3x+7 ou 5x−1=3x−7⇔5x+3x=7+1 ou 5x−3x=−7+1⇔8x=8 ou 2x=−6⇔x=88 ou x=−62⇔x=1 ou x=−3
D'où, l'équation |q(x)|=1 a pour solution : S={1; −3}
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